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| Aufgabe | Sei K ein beliebiger Körper und A, [mm] n\ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl, [mm] \pi [/mm] eine permutation aus [mm] S_n, [/mm] und A die n [mm] \times [/mm] n Matrix über K mit [mm] A_{i, \pi (i)}=1 [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,2,...,n} und [mm] A_{i, j}=0 [/mm] für i,j [mm] \in [/mm] {1,2,...,n} und j [mm] \in [/mm] {1,2,...,n} \ [mm] {\pi(i)}
[/mm]
1) detA=0 für alle [mm] \pi \in S_n
[/mm]
2) detA=sgn [mm] \pi [/mm] für alle [mm] \pi \in S_n
[/mm]
3) [mm] detA=(-1)^n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1
4) detA hängt natürlich nur von K, n und [mm] \pi [/mm] ab, aber auf eine andere und viel kompliziertere Weise als in den obigen Alternativen beschrieben |
Hallo,
ich habe schwierigkeiten bei der Aufgabe; habe mir aber schon Gedanken gemacht:
Die Matrix A schein nur aus 0(en) und 1(en) zu bestehen, weil immer bei [mm] i,\pi [/mm] (i) eine 1 ist und Sonst alle einträge i,j =0 sind (denn j =0 soll ja nciht [mm] \pi(i) [/mm] sein--> also alle i(alle zeilen)=0 aber und auch alle spalten j=0, sid auf die Spalte [mm] \pi [/mm] (i)). habe ich das so richtig verstanden??
Ich habe dazu jetzt zum einen dies frage:
Kann in einer Spalte/zeile auch mehrmals eine 1 vorkommen?? oder ist das so wie bei einer permutierten einheitsmatrix?? Und woran sehe ich das?
bei den Aussagen bin ich mir auch nicht sicher, aber ich würde sagen:
1 --> falsch
3--> wahr
(zu den anderen beiden muss ich noch überlegen)
Kann mir jemand helfen??
Vielen dank schonmal
Liebe Grüße
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 21.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Matrix A schein nur aus 0(en) und 1(en) zu bestehen,
Nach Definition ...
> weil immer bei [mm]i,\pi[/mm] (i) eine 1 ist und Sonst alle
> einträge i,j =0 sind (denn j =0 soll ja nciht [mm]\pi(i)[/mm]
> sein--> also alle i(alle zeilen)=0 aber und auch alle
> spalten j=0, sid auf die Spalte [mm]\pi[/mm] (i)). habe ich das so
> richtig verstanden??
Ich glaube ja, deine Notation ist aber kaum lesbar.
> Ich habe dazu jetzt zum einen dies frage:
> Kann in einer Spalte/zeile auch mehrmals eine 1
> vorkommen??
Nein.
> oder ist das so wie bei einer permutierten
> einheitsmatrix??
Was ist das?
> Und woran sehe ich das?
Fixiere ein j dann betrachte die Paare [m](j,i),1\le i\le n[/m]. Wann ist [m]A_{(j,i)}[/m] 1? Wann 0? Wie oft kann der 1 Fall vorkommen? Was muss denn da passieren?
> bei den Aussagen bin ich mir auch nicht sicher, aber ich
> würde sagen:
Warum? Beweise?
> 1 --> falsch
> 3--> wahr
Begründungen? Darauf kann man aufbauen ...
> (zu den anderen beiden muss ich noch überlegen)
Was weißt du denn zum Signum alles? Um das auszuschließen, musst du ja damit und den Eigenschaften rechnen.
SEcki
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hallo
also ich versteh die Definition so, dass sich in jeder Zeile und Spalte eine 1 befindet...versteh ich das so richtig?
Dann würde ich zu dem Schluss kommen, dass
(1) falsch ist, weil wenn in jeder zeile und spalte eine 1 steht, dann ist determinante 1 und nicht 0.
(2) auch falsch, weil das Signum für ein [mm] \pi [/mm] das aus einer ungeraden Anzahl von Transpositionen besteht -1 wäre aber in unserer Matrix sind nur 1sen und somit kann die Determinante nicht -1 werden.
(3) meiner Meinung auch falsch mit der gleichen Begründung wie 2. für ungerade anzahl an Spalten und Zeilen klappt diese Formel nicht, weil die determinante nicht negativ werden kann.
(4) da die anderen 3 Behauptungen falsch sind müsste diese wahrscheinlich richtig sein aber ich versteh nicht warum kann es mir jemand erklären?..oder sind meine vorrigen Überlegungen falsch?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 22.04.2010 | | Autor: | SEcki |
>..oder sind meine vorrigen
> Überlegungen falsch?
Die sind falsch. Berechne [m]\det( \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } )[/m].
SEcki
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Hallo,
also zu meinen Begründungen:
(1) det kann nnicht für alle [mm] S_n [/mm] Null sein, da es z.B. für die einheitsmatrix eins ist
(3)Z.b. ist die determinante für die 3x3 einheitsmatrix eins nach der formEL müsste sie aber [mm] (-1)^3=-1 [/mm] sein, also ist auch diese aussage falsch.
Stimmt das so??
jetzt geht es also nur noch um 2 und 4: wie kann ich 2 beweisen oder wiederlegen?
ich komme da nicht weiter..
Hat jemand eine idee??
Danke
pythagora
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hallo...
ich sitze auch noch an dieser Aufgabe und schwanke ebenfalls noch zwischen den Behauptungen (2) und (4)...ich habe mein skript jetzt schon zig mal durch gelesen und werd nicht wirklich schlauer
ich habe da ne Definition gefunden und zwar:
[mm] detA=\summe_{\pi \in S_{n}} [/mm] sgn [mm] \pi \alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}
[/mm]
nun bin ich aber nicht der Meinung, dass das das selbe ist, wie detA=sgn [mm] \pi [/mm] , weil sgn [mm] \pi [/mm] ist ja definiert als sgn [mm] \pi [/mm] = [mm] \produkt_{1 \le i \le j \le n} \bruch{\pi(j)- \pi(i)}{j-i}...
[/mm]
aber ich bin mir nun nicht sicher ob es, dass gleiche ist, weil in der oberen Definition handelt es sich ja um eine Summe und nicht nur um ein Produkt wie in der Definition von sgn [mm] \pi [/mm] oder?..kann mir das bitte jemand erklären?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]detA=\summe_{\pi \in S_{n}}[/mm] sgn [mm]\pi \alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/mm]
Und wann ist das Produkt [m] \alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/m] 0? Wann ist es 1? Du weißt, wie die aussehen.
> aber ich bin mir nun nicht sicher ob es, dass gleiche ist,
> weil in der oberen Definition handelt es sich ja um eine
> Summe und nicht nur um ein Produkt wie in der Definition
> von sgn [mm]\pi[/mm] oder?..kann mir das bitte jemand erklären?
Ja und? Du musst noch die Definitionen der Matrizen-Elemente einfügen!
SEcki
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> > [mm]detA=\summe_{\pi \in S_{n}}[/mm] sgn [mm]\pi \alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/mm]
>
> Und wann ist das Produkt
> [m]\alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/m] 0? Wann ist es 1?
> Du weißt, wie die aussehen.
>
naja das Produkt wird 0, wenn ein [mm] \alpha [/mm] 0 ist...und 1 wird es wenn alle [mm] \alpha [/mm] 1 sind, weil sobald ein [mm] \alpha [/mm] 0 ist wird das Produkt 0
> > aber ich bin mir nun nicht sicher ob es, dass gleiche ist,
> > weil in der oberen Definition handelt es sich ja um eine
> > Summe und nicht nur um ein Produkt wie in der Definition
> > von sgn [mm]\pi[/mm] oder?..kann mir das bitte jemand erklären?
>
> Ja und? Du musst noch die Definitionen der
> Matrizen-Elemente einfügen!
>
naja die Matrizenelemente haben ja die Form [mm] \alpha_{i,j}...das [/mm] entspricht denn ja sozusagen, den [mm] \alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n} [/mm] oder?...aber wie gleicht sich denn in beiden Definitionen das Summenzeichen aus?...das versteh ich immer noch nicht..
> SEcki
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Und wann ist das Produkt
> > [m]\alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/m] 0? Wann ist es 1?
> > Du weißt, wie die aussehen.
> >
> naja das Produkt wird 0, wenn ein [mm]\alpha[/mm] 0 ist...und 1 wird
> es wenn alle [mm]\alpha[/mm] 1 sind, weil sobald ein [mm]\alpha[/mm] 0 ist
> wird das Produkt 0
Ich meinte das schon konkreter - die Werte sind 0 oder 1. Du musst jetzt die [m]\alpha[/m] mit deiner Definition für die MAtrix vergleichen. Wann sind die Elemente denn genau 1? Was muss alles gelten?
> naja die Matrizenelemente haben ja die Form
> [mm]\alpha_{i,j}...das[/mm] entspricht denn ja sozusagen, den
> [mm]\alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/mm] oder?
Natürlich.
>...aber wie
> gleicht sich denn in beiden Definitionen das Summenzeichen
> aus?...
Es sind keine zwei Definitionen a priori. Wenn 2) gilt, hast du eine andere Gleichheit gezeigt.
SEcki
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Hallo, ich bin bei dieser Aufagabe leider auch mit dem beweis für diese Aussage nicht wirklich vorangekommen...
> > > Und wann ist das Produkt
> > > [m]\alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/m] 0? Wann ist es 1?
> > > Du weißt, wie die aussehen.
> > >
> > naja das Produkt wird 0, wenn ein [mm]\alpha[/mm] 0 ist...und 1 wird
> > es wenn alle [mm]\alpha[/mm] 1 sind, weil sobald ein [mm]\alpha[/mm] 0 ist
> > wird das Produkt 0
>
> Ich meinte das schon konkreter - die Werte sind 0 oder 1.
> Du musst jetzt die [m]\alpha[/m] mit deiner Definition für die
> MAtrix vergleichen. Wann sind die Elemente denn genau 1?
> Was muss alles gelten?
Die Elemente, also das Produkt der Elemente, ist doch eins, wenn in jeder zeile und in jeder spalte nur eine 1 steht und der rest 0 ist, so wie es auch in der aufgabe der Fall ist. Und dann wäre die determinante doch =1, oder?
und wenn [mm] detA=sgn\pi [/mm] gelten soll, dann muss ich doch ezigen, dass [mm] sgn\pi=1, [/mm] weil die determinante dieser matrix immer 1 ist, oder?
Ich bin mir bei meinen überlegungen nicht sicher und komme da irgendwie nicht weiter..
EDIT: hab nochmal nachgedacht.
wenn ich z.b. eine matrix habe, die so aussieht:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
dann habe ich ja det= -1 , weil ich eine transposition habe und dadurch ein "-" bei der berechnung, und aus der einen transposition ergibt sich dann wiederum für's signum durch [mm] (-1)^s [/mm] (s:=anzahl der transpositionen)
sgn [mm] \pi [/mm] = -1 wenn ich jetzt in die martix wiedere transpositionen einbaue, so kommt pro transposition ein "-" dazu und das bei sgn UND det..
stimmen meine überlegungen?
Mag mir (und schmetterfee) noch jemand helfen?
Vielen Dank
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> dann habe ich ja det= -1 , weil ich eine transposition
> habe und dadurch ein "-" bei der berechnung, und aus der
> einen transposition ergibt sich dann wiederum für's signum
> durch [mm](-1)^s[/mm] (s:=anzahl der transpositionen)
> sgn [mm]\pi[/mm] = -1 wenn ich jetzt in die martix wiedere
> transpositionen einbaue, so kommt pro transposition ein "-"
> dazu und das bei sgn UND det..
> stimmen meine überlegungen?
Ja. Aber du musst noch zeigen, dass für eine beliebige Permutation [m]\pi[/m] und eine Transposition [m]\tau[/m] gilt: [m]\det(A_{\pi*\tau})=-1*\det(A_\i)[/m], wobei [m]A_\signum[/m] die Matrix nach obigen Muster ist für die Permutation [m]\signum[/m]. Dazu musst du dir überlegen, dass durch die Transposition zwei Spalten vertauscht werden.
SEcki
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Hi SEcki,
danke für die antwort.
> > dann habe ich ja det= -1 , weil ich eine transposition
> > habe und dadurch ein "-" bei der berechnung, und aus der
> > einen transposition ergibt sich dann wiederum für's signum
> > durch [mm](-1)^s[/mm] (s:=anzahl der transpositionen)
> > sgn [mm]\pi[/mm] = -1 wenn ich jetzt in die martix wiedere
> > transpositionen einbaue, so kommt pro transposition ein "-"
> > dazu und das bei sgn UND det..
> > stimmen meine überlegungen?
>
> Ja. Aber du musst noch zeigen, dass für eine beliebige
> Permutation [m]\pi[/m] und eine Transposition [m]\tau[/m] gilt:
> [m]\det(A_{\pi*\tau})=-1*\det(A_\i)[/m], wobei [m]A_\signum[/m] die
> Matrix nach obigen Muster ist für die Permutation [m]\signum[/m].
> Dazu musst du dir überlegen, dass durch die Transposition
> zwei Spalten vertauscht werden.
ok, ich dachte da so in richtung induktion, denn wenn ich meinen oberen gedankengang weiterspinen würde, dann müsste das doch hinkommen: für jede transposition komme für sgn ein "*(-1)" dazu und auch bei der determinante wird aus dem "*1" ein "*(-1)"... meinst du, dass das so für "beliebige" zu seigen ist, wenn ich zeige, dass es für ein bestimmtes gilt und dass danach ein bestimmtes "schema" (mal -1 pro transpos.) abläuft???
Bräuchte da nochmal hilfe... bin mir da wirklichnicht sicher, aber würde das gerne verstehen...
Danke.
LG
pythagora
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muss ich das wirklich mit induktion machen um das zu zeigen?..reicht e snicht einfach die Definitionen sinnvoll anzuwenden?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 29.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 27.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > > Und wann ist das Produkt
> > > [m]\alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/m] 0? Wann ist es 1?
> > > Du weißt, wie die aussehen.
> > >
> > naja das Produkt wird 0, wenn ein [mm]\alpha[/mm] 0 ist...und 1 wird
> > es wenn alle [mm]\alpha[/mm] 1 sind, weil sobald ein [mm]\alpha[/mm] 0 ist
> > wird das Produkt 0
>
> Ich meinte das schon konkreter - die Werte sind 0 oder 1.
> Du musst jetzt die [m]\alpha[/m] mit deiner Definition für die
> MAtrix vergleichen. Wann sind die Elemente denn genau 1?
> Was muss alles gelten?
>
naja es werden die [mm] \alpha_{i,j} [/mm] eins wo das i in der Permutation vorkommt und das j wird durch dei Permutation bestimmt und nur an der Stelle wird [mm] \alpha [/mm] 1 oder?...und 0 wird das [mm] \alpha [/mm] an allen Stellen wo das i nicht in der Permutation vorkommt bzw. alle anderen die nicht der Permutationsbedingung genügen..
> > naja die Matrizenelemente haben ja die Form
> > [mm]\alpha_{i,j}...das[/mm] entspricht denn ja sozusagen, den
> > [mm]\alpha_{\pi(1),1}*...*\alpha_{\pi(n),n}[/mm] oder?
>
> Natürlich.
>
> >...aber wie
> > gleicht sich denn in beiden Definitionen das Summenzeichen
> > aus?...
>
> Es sind keine zwei Definitionen a priori. Wenn 2) gilt,
> hast du eine andere Gleichheit gezeigt.
>
das versteh ich leider nicht :(
> SEcki
LG Schmetterfee
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Kann mir bitte jemand bei der 2 Aussage weiter helfen?..bin mir mittlerweile recht sicher das sie stimmt aber bekomm das einfach nicht erklärt:(...die 4 Aussage ist aufjedenfall schwachsinn..
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> naja es werden die [mm]\alpha_{i,j}[/mm] eins wo das i in der
> Permutation vorkommt und das j wird durch dei Permutation
> bestimmt und nur an der Stelle wird [mm]\alpha[/mm] 1 oder?...und 0
> wird das [mm]\alpha[/mm] an allen Stellen wo das i nicht in der
> Permutation vorkommt bzw. alle anderen die nicht der
> Permutationsbedingung genügen..
Dein Geschreibsel verstehe ich nicht.
Du hast diese Summe - am besten sollte gelten, dass für alle anderen Permutationen der Summand 0 ist, aber für [m]\pi[/m] soll genau [m]sign(\pi)*1[/m] da stehen. Nun, für alle anderen Permutationen gibt es ein j mit [m]\pi(j)\neq \sigma(j)[/m], damit ist mindestens eines der [m]A_{ij}[/m] 0 für den Summanden [m]\sigma[/m] (muss man sich noch genauer anschauen und die Def. einsetzen). Für [m]\pi[/m] aber sind alle = 1.
> > Es sind keine zwei Definitionen a priori. Wenn 2) gilt,
> > hast du eine andere Gleichheit gezeigt.
> >
> das versteh ich leider nicht :(
Da stehen keine zwei Definitionen - es steht eine für Det., eine für das Signum. Du sollst zeigen, dass mit der Determinante + besondere Form der Matrix das Signum berechnet werden kann. (Im Übrigen kann man dann natürlich das Signum über die Det. definieren, dann kann man die Det. aber nicht mehr über die Leibnizformel def.).
SEcki
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