det einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Do 06.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Seien [mm] a_0, [/mm] . . . , [mm] a_{n−1} [/mm] und [mm] \lambda [/mm] Elemente eines Körpers k. Die Matrix A [mm] \in M_{n×n}(K) [/mm] sei gegeben durch
A =
[mm] \pmat{
0 & 0 & . . . & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & . . . & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & . . . & 0 & -a_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & . . . & 0 & -a_{n-2} \\
0 & 0 & . . . & 1 & -a_{n-1} \\
}
[/mm]
.
Berechnen Sie [mm] det(\lambda*En [/mm] − A). |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, mit der Aufgabe kann ich gar nichts anfagen :(
also auf der hauptdiagonale stehen [mm] \lambda [/mm] also kommt da insgesammt für die diagonale raus:
1. 2. und vorletzte zeile steht [mm] \lambda
[/mm]
dann überall [mm] \lambda-1
[/mm]
und letzte steht [mm] \lambda+a_{n-1}
[/mm]
und sonst einfach die matrix A nur das man die vorzeichen alle umtauschen muss für die elemente die nciht auf der hauptdiagonale liegen oder?
wie bekommt man da denn jetzt det raus. ich habe leider keine ahnung.
wäre sehr nett, wenn mir da einer helfen kann
Lg Ari
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 06.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hi!
> Seien [mm]a_0,[/mm] . . . , [mm]a_{n−1}[/mm] und [mm]\lambda[/mm] Elemente eines
> Körpers k. Die Matrix A [mm]\in M_{n×n}(K)[/mm] sei gegeben durch
> A =
> [mm]\pmat{
0 & 0 & . . . & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & . . . & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & . . . & 0 & -a_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & . . . & 0 & -a_{n-2} \\
0 & 0 & . . . & 1 & -a_{n-1} \\
}[/mm]
>
> .
> Berechnen Sie [mm]det(\lambda*En[/mm] − A).
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute, mit der Aufgabe kann ich gar nichts anfagen :(
>
> also auf der hauptdiagonale stehen [mm]\lambda[/mm] also kommt da
> insgesammt für die diagonale raus:
>
> 1. 2. und vorletzte zeile steht [mm]\lambda[/mm]
>
> dann überall [mm]\lambda-1[/mm]
>
> und letzte steht [mm]\lambda+a_{n-1}[/mm]
Ich weiss nicht was du grad sagen willst, aber [mm] $\lambda [/mm] - 1$ steht da ganz bestimmt nirgendswo in der Matrix.
> und sonst einfach die matrix A nur das man die vorzeichen
> alle umtauschen muss für die elemente die nciht auf der
> hauptdiagonale liegen oder?
Genau.
> wie bekommt man da denn jetzt det raus. ich habe leider
> keine ahnung.
Mach eine Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte. Die erste Determinante behandelst du per Induktion weiter, und bei der zweiten machst du eine Entwicklung nach der ersten Zeile. Dann bleibt nur noch eine obere Dreiecksmatrix, und von einer solchen kannst du die Determinante ja direkt ablesen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Do 06.04.2006 | | Autor: | AriR |
danke schonmal felix. das ist schonmal eine große hilfe..
in der 3.zeile stehen doch nur 1en bis auf die erste und letzen beiden elemente oder? und wenn von [mm] \lambda [/mm] -1 abzieht steht doch [mm] \lambda-1 [/mm] oder?
Gruß Ari
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Do 06.04.2006 | | Autor: | felixf |
> danke schonmal felix. das ist schonmal eine große hilfe..
>
> in der 3.zeile stehen doch nur 1en bis auf die erste und
> letzen beiden elemente oder? und wenn von [mm]\lambda[/mm] -1
> abzieht steht doch [mm]\lambda-1[/mm] oder?
Nein, in der Zeile steht genau eine 1. In der $i$-ten Zeile, $2 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$, steht jeweils genau eine $1$, und zwar in der $i-1$-ten Spalte, und in der $n$-ten Spalte steht [mm] $-a_{i-1}$. [/mm] Und in der ersten Zeile steht nur in der letzten Spalte ein [mm] $a_0$. [/mm] Alle nicht angesprochenen Eintraege der Matrix sind $0$.
Ich schaetze mal das du wegen der Matrix aus deinem ersten Posting dadrauf gekommen bist; dort solltest du ein paar der [mm] $\hdots$ [/mm] bzw. [mm] $\vdots$ [/mm] in [mm] $\ddots$ [/mm] umwandeln, etwa so:
[mm] $\pmat{
0 & 0 & \hdots & \hdots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & \hdots & \hdots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\
0 & \hdots & \hdots & 0 & 1 & -a_{n-1} \\
}$
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:58 Do 06.04.2006 | | Autor: | AriR |
irgendwie verstehe ich das nciht so ganz:
wenn in der zeile steth:
0 1 .... 0 [mm] -a_2
[/mm]
dann sollen doch die ... für die 1 stehen oder?
Gruß Ari
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Fr 07.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Ari,
ich kann A auch nur so lesen, dass überall Nullen stehen, außer in der letzten Spalte und außer in den Elementen jeweils direkt unter den Elementen der Hauptdiagonale.
hth,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Fr 07.04.2006 | | Autor: | AriR |
jo alles klar, dann mal dank an euhc beide
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mo 10.04.2006 | | Autor: | AriR |
hey leute..
kommt da zufällig [mm] \lambda^{n-1}*(\lambda+a_{n-1}) [/mm] raus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kommt da zufällig [mm]\lambda^{n-1}*(\lambda+a_{n-1})[/mm] raus?
Nein. Es kommt das Polynom [mm] $\lambda^n [/mm] + [mm] \lambda^{n-1} a_{n-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_0$ [/mm] raus.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 10.04.2006 | | Autor: | AriR |
hi felix,
liege ich denn damit richtig, dass bei der entwicklung nach der 1. spalte, bei der Teilmatrix die entsteht, wenn man sie mit 1 multiplitzieren muss immer 1 rauskommt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo AriR!
> liege ich denn damit richtig, dass bei der entwicklung nach
> der 1. spalte, bei der Teilmatrix die entsteht, wenn man
> sie mit 1 multiplitzieren muss immer 1 rauskommt?
Nee, es muesste [mm] $\pm a_0$ [/mm] (je nach Koeffizient davor, insgesamt wird daraus ein $+ [mm] a_0$) [/mm] rauskommen.
LG Felix
|
|
|
|
