det einer m x n - Matrix, m > n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Di 29.06.2004 | | Autor: | Leibniz |
Hallo "Matheräumer"!
Folgende nette Sache habe ich zu bestimmen. Hilfe dabei wär äußerst  nett!
Sei A eine reelle m x n - Matrix mit m > n. Bestimmen Sie det [mm] (AA^{t}).
[/mm]
Lieg ich da richtig, dass da was ganz einfaches rauskommt. Also det = 0 oder det = 1, für m > n ? Denn wie soll ich das denn sonst allgemein bestimmen können?
Vielen Dank für eine Hilfestellung!
Leibnix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Leibnix!
Es gilt doch für die $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix [mm] $AA^T$:
[/mm]
[mm] $Rang(AA^T) \le \min(Rang(A),Rang(A^T)) \le \min(n,m) \le [/mm] n < m$,
also:
[mm] $\det(AA^T)=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Leibniz |
Hi
Das hat mich schon einiges weitergebracht, vielen Dank!
Eine Frage noch: Du meintest sicher auch eine m x n und keine m x m - ist nur ein Tippfehler, oder?
In Worten hieße die Lösung: det [mm] (AA^{t}) [/mm] ist 0, da die Matrix wegen m > n nicht Vollrang hat und det (A) = 0 für Matrizen, die nicht vollen Rang haben.
Lieg ich da richtig? Ich hoffe doch...
Oh, sind jetzt doch 2...
Vielen Dank nochmals
von LeibniX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Eine Frage noch: Du meintest sicher auch eine m x n und
> keine m x m - ist nur ein Tippfehler, oder?
Nein, ich meinte $m [mm] \times [/mm] m$.
$A$ ist eine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix und [mm] $A^T$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix. Daher ist [mm] $AA^T$ [/mm] eine $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix.
> In Worten hieße die Lösung: det [mm](AA^{t})[/mm] ist 0, da die
> Matrix wegen m > n nicht Vollrang hat und det (A) = 0 für
> Matrizen, die nicht vollen Rang haben.
> Lieg ich da richtig? Ich hoffe doch...
Stark vereinfacht ist das die Lösung ja. Eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit $n<m$ kann höchstens den Rang $n$ haben, und die Multiplikation mit einer anderen Matrix (in diesem Fall mit [mm] $A^T$) [/mm] kann den Rang der Ergebnismatrix auf keinen Fall erhöhen. Daher gilt auch [mm] $Rang(AA^T) \le [/mm] n < m$.
> Oh, sind jetzt doch 2...
Häh? Was ist doch 2? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Liebe Grüße
Julius
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