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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 30.12.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | detA=? detB=?
[mm] A=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3} & 5x^{4} \\ 1 & 4x & 9x^{2} & x^{3} & 25x^{4} \\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ 1 & 2y & 3y^{2} & 4y^{3} & 5y^{4}}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ x^{3} & x^{2} & x & 1 \\ 1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3}\\4x^{3} & 3x^{2}& 2x & 1} [/mm] |
zu B:
kann ich hier nicht alle zeilen nach dem Grad von x anordnen, und dann die Variablen alle wegdenken und "normal mit zahlen rechnen?
zu A:
ich bin etwas irritiert, dass da x UND y auftreten, muss man dann z.b. als eine ZAhl und x als eine Variable behandeln?
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> detA=? detB=?
> [mm]A=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3} & 5x^{4} \\ 1 & 4x & 9x^{2} & x^{3} & 25x^{4} \\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ 1 & 2y & 3y^{2} & 4y^{3} & 5y^{4}}[/mm]
>
> [mm]B=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ x^{3} & x^{2} & x & 1 \\ 1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3}\\4x^{3} & 3x^{2}& 2x & 1}[/mm]
>
> zu B:
> kann ich hier nicht alle zeilen nach dem Grad von x
> anordnen, und dann die Variablen alle wegdenken und "normal
> mit zahlen rechnen?
Hallo,
ich verstehe gar nicht, was Du meinst.
Die Variablen darfst Du sicher nicht "wegdenken", "normal" rechnen solltest Du unter allen Umständen.
Mit "normal" meine ich: unter Beachtung der geltenden Regeln.
Ich würde mich an Deiner Stelle zunächst mal über die Regeln fürs Berechnen von Determinanten informieren,
also darüber wie sich die Det. ändert
beim Multiplizieren einer Zeile oder Spalte mit einem Faktor
beim Addieren des Vielfachen einer Spalte oder Zeile zu einer anderen
beim Vertauschen v. Zeilen oder Spalten.
Dann könnte es noch sinnvoll sein, wenn Du Dich informierst, wie man nach einer Zeile oder Spalte entwickelt.
> zu A:
> ich bin etwas irritiert, dass da x UND y auftreten, muss
> man dann z.b. als eine ZAhl und x als eine Variable
> behandeln?
x und y sind beide fest im Verlauf Deiner Rechnung. Ich würde sie vielleicht eher als Parameter bezeichnen - wenn es Dir leichter fällt, ersetze x und y durch a und b, manchmal bewirkt so etwas Wunder.
Während des Wartens aufs Wunder: Regeln fürs Berechnen von Determinanten lernen,
anschließend die Versuche, die Du unter Beachtung dieser Regeln vorgenommen hast, unter Nennung der Regeln hier vorstellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 30.12.2007 | | Autor: | Kreide |
2x+3y=4
3x-7y=9
das GLS kann man ja in eine Matrix schreiben, da lässt man x und y ja auch weg
B hätte ich also ungeformt zu
> >
> > [mm]B=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & x & x^{2} & x^{3}\\ 1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3}\\1 & 2x 3x^{2} & 3x^{2} & x^{3}}[/mm]
>
dann hätte ich die variablen weggelassen un den leibnizschen Entwicklungssatz angewendet
....
wenn man das weglassen doch nicht darf, dann würde die matrix erst gar nicht umformen und dann schon den leipnitzschen entwicklungssatz anwenden....
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Hallo!
Ja, moment, x und y werden nicht wirklich weggelassen. Die stehen eigentlich immernoch da, aber es wird übersichtlicher, wenn man sie nicht mitschreibt.
Diese Umformung, die du da vorgenommen hast, folgt KEINER Regel für die Berechnung von Determinanten.
Die Regel, die Angela dir nahelegen will ist, daß du nach Belieben zwei Zeilen addieren/subtrahieren darfst, ohne, daß sich der Wert der Determinante ändert. Gleiches gilt für Spalten. Auf diese Weise kannst du versuchen, möglicht viele Nullen in eine einzelne Zeile oder Spalte zu bringen, denn dann hast du anschließend mit Leibnitz nicht ganz so viel zu tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 30.12.2007 | | Autor: | Kreide |
>
> > Hallo!
>
> Ja, moment, x und y werden nicht wirklich weggelassen. Die
> stehen eigentlich immernoch da, aber es wird
> übersichtlicher, wenn man sie nicht mitschreibt.
das ist mir schon klar
>
>
> Diese Umformung, die du da vorgenommen hast, folgt KEINER
> Regel für die Berechnung von Determinanten.
>
1x+ 3+5y=0
2y+ 5x+5=0
3+ 3x+7y=0
ist doch das gleiche wie
3+ 1x+5y=0
5+ 5x+2y=0
3+ 3x+7y=0
oder?
wenn ich beide jeweils in eine Matrix schreibe, sind die matrizen dann nicht gleich???!!!!
>
>
> Die Regel, die Angela dir nahelegen will ist, daß du nach
> Belieben zwei Zeilen addieren/subtrahieren darfst, ohne,
> daß sich der Wert der Determinante ändert. Gleiches gilt
> für Spalten. Auf diese Weise kannst du versuchen, möglicht
> viele Nullen in eine einzelne Zeile oder Spalte zu bringen,
> denn dann hast du anschließend mit Leibnitz nicht ganz so
> viel zu tun.
oh stimmt!!........
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> 1x+ 3+5y=0
> 2y+ 5x+5=0
> 3+ 3x+7y=0
>
> ist doch das gleiche wie
>
> 3+ 1x+5y=0
> 5+ 5x+2y=0
> 3+ 3x+7y=0
>
> oder?
Ja.
>
> wenn ich beide jeweils in eine Matrix schreibe, sind die
> matrizen dann nicht gleich???!!!!
Du müßtest erstmal erklären, was Du mit "in eine Matrix schreiben" meinst...
Ja, man kann zu linearen GSen die Koeffizientenmatrix/erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen, in Deinem Fall wäre die erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 5&| -3 \\ 5 & 2&| -5 \\ 3 & 7&| -3 }
[/mm]
bzw.
[mm] \pmat{ 5 & 1&| -3 \\ 2 & 5&| -5 \\ 7 & 3&| -3 }, [/mm] wenn Du Dich aus irgendeinem Grunde entscheiden würdest, daß y Deine erste Koordinate sein soll.
(Allerdings brauchst Du Dich in derlei Betrachtungen für Deine Aufgabe nicht zu ergehen.)
Wenn Du Deine Matrizen umschreibst in Gleichungssysteme kommen zusätzlich zu den Parametern jeweils jeweils n Variable zusätzlich ins Spiel, ich weiß also wirklich nicht, was das Gerede davon, daß irgendetwas wegfällt, soll...
Konzentriere Dich wie erwähnt auf die Regeln fürs Berechnen der Determinanten.
Mach Dich auch mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz vertraut, er ist eine Variante des Leibnizsatzes, welche man sich gut merken kann, eben das Entwickeln nach Zeilen bzw. Spalten, und
last but not least:
nenn(t) den großen Leibniz in Zukunft niemals anders als eben "Leibniz" - wie die Kekse.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 30.12.2007 | | Autor: | Kreide |
>
> > 1x+ 3+5y=0
> > 2y+ 5x+5=0
> > 3+ 3x+7y=0
> >
> > ist doch das gleiche wie
> >
> > 3+ 1x+5y=0
> > 5+ 5x+2y=0
> > 3+ 3x+7y=0
> >
> > oder?
>
> Ja.
>
> >
> > wenn ich beide jeweils in eine Matrix schreibe, sind die
> > matrizen dann nicht gleich???!!!!
>
> Du müßtest erstmal erklären, was Du mit "in eine Matrix
> schreiben" meinst...
wie du es aufgeschrieben hattest...
>
> Ja, man kann zu linearen GSen die
> Koeffizientenmatrix/erweiterte Koeffizientenmatrix
> aufstellen, in Deinem Fall wäre die erweiterte
> Koeffizientenmatrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 5&| -3 \\ 5 & 2&| -5 \\ 3 & 7&| -3 }[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\pmat{ 5 & 1&| -3 \\ 2 & 5&| -5 \\ 7 & 3&| -3 },[/mm] wenn Du
> Dich aus irgendeinem Grunde entscheiden würdest, daß y
> Deine erste Koordinate sein soll.
ich bin nen bisschen durcheinander .... eine koeffizientenmatrix ist also nicht gleich Matrix bessergesagt, jede Matix ist nicht eine Koeffizientmatrix?
>
> (Allerdings brauchst Du Dich in derlei Betrachtungen für
> Deine Aufgabe nicht zu ergehen.)
>
> Wenn Du Deine Matrizen umschreibst in Gleichungssysteme
> kommen zusätzlich zu den Parametern jeweils jeweils n
> Variable zusätzlich ins Spiel, ich weiß also wirklich
> nicht, was das Gerede davon, daß irgendetwas wegfällt,
> soll...
^^ hab die Determinate von B raus (hab durch addieren von zeilen nullen rausbekommen und dann die Leibnizformel angewendet) ;)
noch mal zur Matrix A... da kann ich doch auch die Leibnizformel 2mal anwenden, oder gibt es noch nen schnelleren weg?
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> ich bin nen bisschen durcheinander .... eine
> koeffizientenmatrix ist also nicht gleich Matrix
> bessergesagt, jede Matix ist nicht eine Koeffizientmatrix?
Hallo,
eine Matrix ist zunächst ja nichts anderes als irgendwelche Körper/Ringelemente, die in einem Rechteckschema angeordet sind, und für die man Verknüpfungen definiert hat.
Dies erweist sich nun im Umgang mit linearen GS als sehr passend, man kann manches gut lösen, indem man sich den "Apparat", den man für Matrizen aufgebaut hat, für die Bewältigung v. Fragen im Zusammenhang mit linearen GS zunutze macht.
Keinesfalls sind aber Matrizen und LGS identisch.
Es ist jedoch offt sinnvoll, die Koeffizienten eines LGS als Matrix anzuordnen und hieraus Schlüsse zu ziehen.
> noch mal zur Matrix A... da kann ich doch auch die
> Leibnizformel 2mal anwenden, oder gibt es noch nen
> schnelleren weg?
Ich kann hierzu nicht ja oder nein sagen, denn ich sehe ja nicht, was sich hinter dem verbirgt, was Du sagst.
Ich selbst würde zuerst versuchen, über Zeilen- und Spaltenumformungen, ggf. Herausziehen v. Faktoren, eine Matrix mit möglichst vielen Nullen in einer zeile/Spalte zu erhalten.
Gruß v. Angela
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Ich hab jetzt zur B mal ein bisschen rumprobiert und bin dann auf eine Lösung gekommen:
[mm] x²-4x^4+6x^6-4x^8+x^10 [/mm] .
Des bekomm ich wenn ich nach der ersten spalte entwickel.
Jetzt ist meine Frage muss ich jetzt um zu zeigen das es auch wirklich eine Determinante gibt noch zeigen für welche Werte von x es nicht null wird, bzw. für welche Werte es null wird, damit man diese vom Ergebniss ausschließt.
Eine Antwort wäre echt super!
Gruß capman
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> Ich hab jetzt zur B mal ein bisschen rumprobiert und bin
> dann auf eine Lösung gekommen:
> [mm]x²-4x^4+6x^6-4x^8+x^10[/mm] .
> Des bekomm ich wenn ich nach der ersten spalte entwickel.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Falls die unausgesprochene Frage ist, ob das richtig ist: ich habe das eben stichprobenartig mit einem Zahlenwert für x getestet, und es scheint mir nicht zu stimmen (ohne Gewähr!).
Rechne ggf. ausführlich vor, wenn Du auch Zweifel an Deinem Ergebnis hast.
> Jetzt ist meine Frage muss ich jetzt um zu zeigen das es
> auch wirklich eine Determinante gibt
Dein Matrix ist quadratisch, also gibt es die Determinante.
> noch zeigen für welche
> Werte von x es nicht null wird, bzw. für welche Werte es
> null wird, damit man diese vom Ergebniss ausschließt.
Wenn in Deiner Aufgabe irgendetwas davon steht, daß Du sagen sollst, für welche x die Det. =0 ist, mußt Du das natürlich ausrechnen, ansonsten bist Du fertig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kreide |
> detA=? detB=?
> [mm]A=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3} & 5x^{4} \\ 1 & 4x & 9x^{2} & x^{3} & 25x^{4} \\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ 1 & 2y & 3y^{2} & 4y^{3} & 5y^{4}}[/mm]
>
[mm]A=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\0 & -x & -2x^{2} & -3x^{3} & -4x^{4} \\ 0 & -3x & -8x^{2} & -15x^{3} & -24x^{4} \\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ 0 & -y & -2y^{2} & -3y^{3} & -4y^{4}}
Ich habe mal eine Frage, bis jetzt abe ich immer nur nach zeilen entwickelt... wenn ich jetzt diese Matrix nach Spalten entwikclen wollte... sähe das dann so aus?
det(A)= 1* \vmat{ -x & -2x^{2} & -3x^{3} & -4x^{4} \\ -3x & -8x^{2} & -15x^{3} & -24x^{4} \\ y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ -y & -2y^{2} & -3y^{3} & -4y^{4}} + 1*\vmat{ x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\-x & -2x^{2} & -3x^{3} & -4x^{4} \\ -3x & -8x^{2} & -15x^{3} & -24x^{4} \\ -y & -2y^{2} & -3y^{3} & -4y^{4}}=...
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, man kann auch nach der 1.Spalte entwickeln, was sich hier in der Tat anbietet, da dort viele Nullen stehen.
Dann musst du aber noch auf das Vorzeichen aufpassen, dass sich ja nach dem "Schachbrettmuster" entwickelt. Dann hast du oben Links in der Ecke ein "+" stehen und wenn du das dann mal weiter runter zählst, dann müsste vor der zweiten 1 ein "-" stehen. Dann wäre es korrekt.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kreide |
danke für den hinweis!
hab's jetzt mal ausgerechnet und folgendes rausbekommen:
det(A) = -2 [mm] x^{9} [/mm] y + 12 [mm] x^{8} y^{2} [/mm] - 30 [mm] x^{7} y^{3} [/mm] + 40 [mm] x^{6} y^{4} [/mm] - 30 [mm] x^{5} y^{5} [/mm] +12 [mm] x^{4} y^{6} [/mm] - 2 [mm] x^{3} y^{7}
[/mm]
mathematica sagt aber genau dasselbe nur mit -1 multipliziert:
det(A) = 2 [mm] x^{9} [/mm] y - 12 [mm] x^{8} y^{2} [/mm] + 30 [mm] x^{7} y^{3} [/mm] - 40 [mm] x^{6} y^{4} [/mm] + 30 [mm] x^{5} y^{5} [/mm] -12 [mm] x^{4} y^{6} [/mm] + 2 [mm] x^{3} y^{7}
[/mm]
Kann es sein, dass wenn man nach der Spalte entwickelt, die ganze Determinante mal -1 malnehmen muss?!?
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> Kann es sein, dass wenn man nach der Spalte entwickelt, die
> ganze Determinante mal -1 malnehmen muss?!?
Nein.
Der Grund scheint mir in etwas zu liegen, was ich Dir kürzlich in einem anderen Thread erklärt habe (!!!).
Du hast A durch ZS_Umformungen umgeformt zu einer anderen Matrix, welche Du sinnigerweise nicht auch A nennen solltest, sondern vielleicht A':
> > [mm]A=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\1 & 2x & 3x^{2} & 4x^{3} & 5x^{4} \\ 1 & 4x & 9x^{2} & x^{3} & 25x^{4} \\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ 1 & 2y & 3y^{2} & 4y^{3} & 5y^{4}}[/mm]
>
> >
> [mm][mm] A'=\pmat{ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\0 & -x & -2x^{2} & -3x^{3} & -4x^{4} \\ 0 & -3x & -8x^{2} & -15x^{3} & -24x^{4} \\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\ 0 & -y & -2y^{2} & -3y^{3} & -4y^{4}}
[/mm]
Beim Umformen hast Du etwas getan, was die Determinante der Matrix verändert:
Du hast z.B. die zweite Zeile mit -1 multipliziert, und dann die erste dazu addiert. Dadurch verändert sich die Determinante, nämlich um den Faktor, mit welchem Du multipliziert hast.
Dies machst Du dreimal, daher ist det A'= (-1)*(-1)*(-1)det A, und da Du Dich für det A interessierst, mußt Du also [mm] detA=\bruch{1}{(-1)*(-1)*(-1)}A [/mm] rechnen.
Willst Du soetwas vermeiden, so darfst Du die Spalten, die Du gerade neu erstellen willst, mit nichts multiplizieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kreide |
ich hatte die zeilen immer voneinander subtrahiert, was ja das gleiche ist wie eine zeile mit -1 zu multiplizieren und dann zu einer anderen zu addieren... also sollte ich die zeilen immer nur addieren, damit ich sehe, wann ich die determinante verändere, gell?
das heißt auch wenn ich die 2. Zeile mit -3 multipliziere und zu der dritten zeile addiere muss ich die eine determinante nochmal mit -1/3 multiplizieren
gilt das auch wenn ich später beim "entwickeln" ? Eigentlich doch schon oder?
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Hallo,
es kommt darauf an, welche Zeile Du gerade neu erstellst.
Wenn Du die Zeile, die Du neu machst, mit irgendwas multiplizierst, verändert sich die matrix, deshalb muß man das ausgleichen.
Guck
det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7&8&9}= [/mm] det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7+2*1&8+2*2&9+2*3},
[/mm]
denn hier habe ich die dritte neu zuerstellende Zeile mit nichts multipliziert.
Aber
det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7&8&9}= \bruch{1}{3} [/mm] det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 3*7+1&3*8+2&3*9+3},
[/mm]
denn hier habe ich die dritte neu zuerstellende Zeile mit 3 multipliziert.
> auch später beim "entwickeln" ? Eigentlich doch schon oder?
Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kreide |
'Danke für deine Erklärung^^
> det [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7&8&9}=[/mm] det [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7+2*1&8+2*2&9+2*2},[/mm]
>
Soll da nicht 2*3 anstelle von 2*2 stehen?
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> 'Danke für deine Erklärung^^
>
> > det [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7&8&9}=[/mm] det [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7+2*1&8+2*2&9+2*2},[/mm]
>
> >
>
> Soll da nicht 2*3 anstelle von 2*2 stehen?
Ja, natürlich.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Kreide |
> Hallo,
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> es kommt darauf an, welche Zeile Du gerade neu erstellst.
>
> Wenn Du die Zeile, die Du neu machst, mit irgendwas
> multiplizierst, verändert sich die matrix, deshalb muß man
> das ausgleichen.
AH!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Darauf kommt es an!!!!!!!!!!! super!!! war mir die ganze zeit nicht so bewusst!!!!
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