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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Di 01.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
kann mir jemand bei der regel vielleicht sagen wo das n herkommt und was das zu bedeuten hat?!vlt an einem beispiel?
[mm] det(\lambda*A)=\lambda^n [/mm] det(A)
danke und grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Di 01.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das folgt aus den Determinantenregeln.
Sei A eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix. A sehe wie folgt aus: [mm] $\pmat{a_1\\a_2\\ \lambda a_3\\ \vdots \\ a_n}$, [/mm] Die [mm] $a_i$ ($i=1,\ldots, [/mm] n$) seien Zeilenvektoren.
Dann gilt: [mm] $det(A)=det\pmat{a_1\\a_2\\ \lambda a_3\\ \vdots \\ a_n}=\lambda*det\pmat{a_1\\a_2\\ a_3\\ \vdots \\ a_n}$
[/mm]
Konkret nehmen wir uns mal eine einfache [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrix her:
[mm] $A:=\pmat{1&2\\6&8}$ [/mm] Dann ist ja [mm] $det(A)=1\cdot8-2\cdot6=8-12=-4$
[/mm]
Jetzt lässt sich die Matrix A aber auch so schreiben:
[mm] $A=\pmat{1&2\\2*3&2*4}$ [/mm] , d.h. man hat in der zweiten Zeile den Faktor 2. Dann kann man nach dem obigen Gesetz schreiben:
[mm] $det(A)=2\cdot det\pmat{1&2\\3&4}=2\cdot [/mm] (1*4-2*3)=2*(-2)=-4$ und das stimmt mit dem obigen Ergebnis überein.
Jetzt zu deiner eigentlichen Frage:
Wenn du [mm] $det(\lambda [/mm] A)$ berechnen sollst, so hast du ja durch [mm] $\lambda [/mm] A$ in jeder Zeile diesen Faktor von [mm] $\lambda$ [/mm] drinstehen. Ist das soweit klar?
Jetzt kannst du das Gesetz von oben anwenden: Im ersten Schritt ziehen wir aus der ersten Zeile den Faktor [mm] \lambda [/mm] heraus. Dann haben wir ein [mm] $\lambda$ [/mm] vor der Determinante stehen. Dann wiederholen wir den Schritt mit der zweiten Zeile usw, bis wir das ganze dann n mal gemacht haben. Wenn du da letzendlich irgendetwas stehen hast mit $det(A)$, dann hast du ja aus jeder Zeile den Faktor [mm] $\lambda$ [/mm] "herausgezogen", d.h. du hast das obige Gesetz n mal angewandt. Deshalb steht dann dort als Vorfaktor vor der Determinante [mm] $\lambda^n$.
[/mm]
Noch einmal "halb"konkret:
Sei [mm] $A:=\pmat{\lambda a_1\\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3}$,, [/mm] die "a" sind wieder Zeilenvektoren.
Dann nehmen wir uns den Satz von oben her, und berechnen die Determinante:
$det [mm] \pmat{\lambda a_1\\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3}=\lambda [/mm] det [mm] \pmat{a_1\\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3}$
[/mm]
Ist das soweit klar? Wir haben ja jetzt aus einer Zeile das [mm] $\lambda$ [/mm] herausgezogen, deshalb kommt das [mm] $\lambda$ [/mm] dann vor die Determinante. Jetzt können wir aber noch ein weiteres [mm] $\lambda$ [/mm] herausziehen, nämlich z.B. das aus der zwieten Zeile:
$det [mm] \pmat{a_1\\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3}=\lambda [/mm] det [mm] \pmat{a_1\\ a_2 \\ \lambda a_3}$
[/mm]
Das mit dem dort oben zusammengesetzt ergibt:
$det [mm] \pmat{\lambda a_1\\ \lambda a_2 \\ \lambda a_3}=\lambda^2 [/mm] det [mm] \pmat{a_1\\ a_2 \\ \lambda a_3}$
[/mm]
Und das ganze nochmal mit der letzten Zeile, dann hast du [mm] $\lambda^3$ [/mm] vor der Determinante stehen.
Ist es dir jetzt ein wenig klarer?
LG
Kroni
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