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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Fr 23.09.2011 | | Autor: | sqflo |
| Aufgabe | Sei [mm] A=$\pmat{ 0 & E_m \\ E_n & 0 }\in \mathbb{R}^{(m+n)\times(m+n)}$.
[/mm]
Hierbei bezeichnen [mm] $E_n [/mm] Einheitsmatrizen und 0 die entsprechenden Nullmatrizen in [mm] $\mathbb{R}^{m\times n}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbb{R}^{n\times m}$.
[/mm]
Berechnen Sie det(A). |
Hallo,
das ergebnis $det(A)=(-1)^ {nm}$ habe ich urch induktion bewiesen:
sei [mm] $A_n=\pmat{ 0 & E_m \\ E_n & 0 }$ [/mm] wie oben für ein festes [mm] $m\in\mathbb{N} [/mm] und alle n definiert.
n=1:
mit der laplace-formel (die ist hier sehr bequem anzuwenden, da in der m+1-ten zeile nur der ersten spalte eine 1 steht) ist [mm] $det(A_1)=(-1)^{(m+1)+1}\cdot\det(E_m)=(-1)^2*(-1)^m=(-1)^{1\cdot m}$.
[/mm]
Sei die aussage nun für [mm] $n\in\mathbb{N} [/mm] richtig.
n->n+1:
wieder mit laplace:
[mm] $det(A_{n+1})=$det\pmat{ 0 & E_m \\ E_ {n+1} & 0 }=(-1)^m*det(A_n)=(-1)^m*(-1)^{mn}=(-1)^{m(n+1)}$.
[/mm]
ist das so richtig oder habe ich etwas übersehen?
lg flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A=[mm]\pmat{ 0 & E_m \\
E_n & 0 }\in \mathbb{R}^{(m+n)\times(m+n)}[/mm].
>
> Hierbei bezeichnen [mm]$E_n[/mm] Einheitsmatrizen und 0 die
> entsprechenden Nullmatrizen in [mm]\mathbb{R}^{m\times n}[/mm][/mm]
> bzw. [mm]\mathbb{R}^{n\times m}[/mm].[/mm]
>
> Berechnen Sie det(A).
> Hallo,
>
> das ergebnis [mm]det(A)=(-1)^ {nm}[/mm] habe ich urch induktion
> bewiesen:
EDIT: die Antwort paßt nicht zur gestellten Frage. S. ullims Beitrag.
Hallo,
ich denke nicht daß dies gelingen kann:
betrachte
[mm] det\pmat{0&0&1\\0&1&0\\1&0&0}=-1 \not=(-1)^{1*2}=1.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> sei [mm]A_n=\pmat{ 0 & E_m \\
E_n & 0 }[/mm][/mm] wie oben für ein
> festes [mm]$m\in\mathbb{N}[/mm] und alle n definiert.
>
> n=1:
> mit der laplace-formel (die ist hier sehr bequem
> anzuwenden, da in der m+1-ten zeile nur der ersten spalte
> eine 1 steht) ist
> [mm]det(A_1)=(-1)^{(m+1)+1}\cdot\det(E_m)=(-1)^2*(-1)^m=(-1)^{1\cdot m}[/mm].
>
> Sei die aussage nun für [mm]$n\in\mathbb{N}[/mm] richtig.
>
> n->n+1:
> wieder mit laplace:
> [mm]det(A_{n+1})=[/mm][mm] det\pmat{ 0 & E_m \\ E_ {n+1} & 0 }=(-1)^m*det(A_n)=(-1)^m*(-1)^{mn}=(-1)^{m(n+1)}$.[/mm]
[/mm]
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> ist das so richtig oder habe ich etwas übersehen?
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> lg flo
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Sa 24.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke Dein Ergebnis ist richtig, da man durch n*m-maliges Vertauschen der Zeilen die Matrix A in die Form
[mm] B=\pmat{ E_n & 0 \\ 0 & E_m } [/mm] bringen kann.
Die Determinante von B ist aber nach dem Kästenchensatz [mm] det(B)=det(E_n)*det(E_m)=1 [/mm] und wegen der Vertauschungen gilt
[mm] det(A)=(-1)^{n*m}*det(B)=(-1)^{n*m}
[/mm]
Das Gegenbeispiel von Angela ist nicht richtig, da es nicht die Form [mm] \pmat{ 0 & E_m \\ E_n & 0 } [/mm] hat.
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