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es seien a1,a2,a,3,a4 spaltenvektoren aus [mm] K^5 [/mm] . zeige dass die s 4 vektoren genau dann linear abhängig sind , wenn es in der 5,4-matrix eine zeile gibt nach deren streichen die resultierende 4,4 matrix eine von null verschiedene determinante hat.
also das sind so viele infos iregenwie...
meine erste überlegung: man könnte ja was mit dem rang machen, aber was? hat vielleicht jemand einen tipp?
habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Im Prinzip hängt die Idee tatsächlich mit dem Rang einer Matrix zusammen:
Du hast vier linear unabhängige Vektoren, diese bilden die Matrix [mm] $A=(a_1|a_2|a_3|a_4)$. [/mm] Jetzt bilde [mm] $A^T=(b_1|b_2|b_3|b_4|b_5)$. [/mm] Weil der Rang von $A$ gleich 4 ist, ist auch der Rang von [mm] $A^T$ [/mm] gleich 4. Also gibt es eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] $\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$, [/mm] die die Mächtigkeit 4 hat. Aber das sind doch gerade vier Zeilen deiner Matrix $A$! Und die fünfte kannst du streichen!
Mal angenommen, es war [mm] $b_5$. [/mm] Dann hat deine neue Matrix die Form [mm] $A'=(b_1|b_2|b_3|b_4)^T$. [/mm] Und weil die [mm] $b_i$ [/mm] linear unabhängig sind, ist die Determinante von $A'$ ungleich $0$.
Der Beweis, dass die Determinante 0 ist, wenn die Vektoren linear abhängig sind, funktioniert im Prinzip genauso.
Gruß, banachella
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danke dir, also mathe ist doch gar nicht so schwierig wie ich dachte.......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Di 31.05.2005 | | Autor: | banachella |
> danke dir, also mathe ist doch gar nicht so schwierig wie
> ich dachte.......
Manchmal schon... Aber oft ist sie auch einfach nur schön! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
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