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| Aufgabe | untersuche ob es für
y' = 2sqrt(|y - 1|)
Lösungen mit den vorgegebenen werten gibt und gib sie im falle der existenz an.
a)
y(0) = 0
y(1) = 2
b)
y(0) = 0
y(2) = 2
c)
y(0) = 0
y(3) = 2 |
hi,
also ich komm mit obiger aufgabe überhaupt nicht klar.
ich hätte jetz einfach mit der fallunterscheidung ne trennung der variablen durchgeführt und dann geschaut, was man in der lsg einsetzen darf.
das scheint aber völlig falsch zu sein, weil wir die aufgabe im repetitorium durchgesprochen haben und da völlig anders argumentiert wurde.
(leider finde ich den aufschrieb nicht mehr...)
vllt muss man da mit PEANO und LIPSCHITZ/PICARD-LINDELÖF argumentieren.
wäre sehr cool wenn mir mal jemand für die a) eine erklärung geben könnte, so dass ichs dann an b) und c) selbst nachvollziehen kann!
(Ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Picard-Lindelöff oder Peano gibt dir nur, ob überhaupt eine Lösung existiert. Aufgabentaktisch wäre es sinnvoll zu schauen:
1. Kann ich die Lösung konmstruieren
2. Kann ich die noch unbekannte Konstante mit der AWBedingung (y(0)=0) finden?
3. Erfüllt das zweite Punktepaar die Gleichung?
Wenn ja -> gibt eine derartige Lösung.
wenn nein -> geht halt nicht.
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naja gut, genau das is die frage, WIE ich hier schaun muss ob sich eine lsg konstruieren lässt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Konstruiere doch einfach mal eine... Ist zwar eigentlich schlampig, aber denk dir doch mal zum Rechnen das Betragszeichen weg. (Frage: Tut die betragsfunktion der Anwendbarkeit von Picard-L. einen Abbruch?)
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also, mit T.d.V. und Betrag-weglassen komme ich auf
y(t) = (t + [mm] c)^2 [/mm] + 1, c element R
isses das was du meinst?
die zweite frage versteh ich nicht ganz.. soll ich prüfen ob die gegebne dgl einer lipschitzbedingung genügt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Umständlich ausgedrückt habe ich mich... also: wenn du die Funktion konstruiert hast, so, dass sie die DGL erfüllt, dann ist es eine Lösung. Der Picard-Lindelöff trifft ja nur eine Aussage über eine bestimmte Klasse von DGL, das heißt aber nicht zwingendermaßen, dass man nicht andere DGL konstruieren könnte, die auch eine Lösung zulassen, aber nicht den Voraussetzungen genügen. (Die Implikation geht ja nur in eine Richtung). In diesem Fall greift aber Picard-Lindelöff. Du hast durch Konstruktion die Existenz der Lösung gezeigt, jetzt bestätigst du noch durch Einsetzen, dass die gewählte Lösung entweder die bedingungen erfüllt, die in a),b),c) vorgegeben sind, oder aber nicht. Eine Lösung hast du trotzdem.
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hmmm
wieso habe ich durch konstruktion die existenz der lösung gezeigt. heißt das, einfach dadurch, dass ich sie konstruieren kann, gibt es sie auch?
außerdem habe ich ja bei meiner konstruktion den betrag weggelassen. müsste ich dann davor eine fallunterscheidung machen?
du sagst das P.-L. hier greift. die funktion ist also stetig auf einem gebiet und auf diesem gebiet gilt |f(t,y1) - f(t,y2)| <= L * |y1 - y2|
bzw. das hinreichende kriterium, dass die funktion beschränkt ist in dem gebiet.
könntest du mir das noch etwas näher erläutern. sorry, steh wohl grad etwas aufm schlauch. und außerdem: von welchem gebiet ist überhaupt die rede??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
naja... du kannst natürlich zuerst picard-lindelöff anwenden und zeigen, dass es auf jeden fall eine lösung gibt. dann musst du die lösung aber immer noch konstruieren. oder du konstruierst die lösung einfach. das darfst du entscheiden. den betrag haben wir erst mal weggelassen, ja. du musst jetzt halt schauen, wo die lösung, die wir konstruiert haben die dgl tatsächlich löst. mindestens muss es eine lösung für den anfnagspunkt (0/0) sein.
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naja, für den punkt 0/0 folgt, dass c = +- i sein muss oder? dann kann aber keine teilaufgabe funktionieren, da y = (t + [mm] c)^2 [/mm] + 1 für solches c dann nie reell wird...
und nochmal die frage, sorry: wie kann ich hier konkret sagen, dass die lipschitz-bed erfüllt is
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Richtig, aber wenn du Al Chws. Beitrag dir anschaust, dann weißt du, dass du zwischen den einzelnen Lösungen Zitat: umsteigen Zitat-Ende kannst. In der Aufgabe steht ja nichts davon, dass die Lösung stetig sein muss.
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> Richtig, aber wenn du Al Chws. Beitrag dir anschaust, dann
> weißt du, dass du zwischen den einzelnen Lösungen Zitat:
> umsteigen Zitat-Ende kannst. In der Aufgabe steht ja nichts
> davon, dass die Lösung stetig sein muss. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Lösungen einer DifferenzialGL sollen doch differenzierbar
sein, also auch stetig !
Die "Umsteigelösungen" sind natürlich ebenfalls stetig und
differenzierbar.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Dath |
Japp, aber nicht, wenn sie an isolierten Stellen nicht stetig sind. Die Lösungen sind ja jeweils nur für offene Intervallle definiert. Dann ist auf diesem Intervall die Lösung stetig (und diff-bar), und dann steigt er halt auf eine andere Lösungskurve um, die ist dann in einem anderen Intervall diffbar, folglich auch stetig. Das war doch, was du meintest, mit umsteigen? Ansonsten bin ich gerade selber verwirrt.
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> Japp, aber nicht, wenn sie an isolierten Stellen nicht
> stetig sind. Die Lösungen sind ja jeweils nur für offene
> Intervallle definiert. Dann ist auf diesem Intervall die
> Lösung stetig (und diff-bar), und dann steigt er halt auf
> eine andere Lösungskurve um, die ist dann in einem anderen
> Intervall diffbar, folglich auch stetig. Das war doch, was
> du meintest, mit umsteigen? Ansonsten bin ich gerade selber
> verwirrt.
Hallo Dath,
die vorliegende DGL hat folgende auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten
und differenzierbaren (und also auch stetigen) Lösungs-
funktionen:
1.) alle Funktionen $\ [mm] f_u:\ x\mapsto\ 1+(x-u)*|x-u|\qquad (u\in\IR)$
[/mm]
2.) die konstante Funktion $\ k:\ [mm] x\mapsto [/mm] 1$
3.) alle "Umsteigefunktionen" der Form
$ [mm] F_{u,v}:\ x\mapsto\begin{cases} 1-(x-u)^2 & \mbox{falls } xv \end{cases}$ [/mm] (dabei soll [mm] u\le [/mm] v sein)
(eigentlich sind die Funktionen der Typen (1) und (2) schon
unter denjenigen des Typs (3) inbegriffen, falls man für
u und v auch die Werte [mm] -\infty [/mm] bzw. [mm] +\infty [/mm] zulässt)
Eine Lösungsfunktion enthält also ein Intervall (das ev.
auch nur aus einem Punkt besteht oder im anderen Extremfall
rechts oder links oder beidseitig unbegrenzt ist), auf welchem
der Funktionswert konstant gleich 1 ist. Ist das Konstanzinter-
vall rechts begrenzt, schließt sich rechts daran eine nach oben
geöffnete Halbparabel an. Ist es links begrenzt, schließt sich
links eine nach unten geöffnete Halbparabel an.
LG Al-Chw.
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> untersuche ob es für
> y' = 2sqrt(|y - 1|)
> Lösungen mit den vorgegebenen Werten gibt und gib sie im
> Falle der Existenz an.
>
> a) y(0) = 0 y(1) = 2
>
> b) y(0) = 0 y(2) = 2
>
> c) y(0) = 0 y(3) = 2
Hallo,
es würde sich wohl sehr lohnen, sich z.B. das Rich-
tungsfeld anzuschauen. Außer den "regulären" gibt
es auch eine "singuläre" Lösungskurve - und es ist
möglich, zwischen Lösungskurven "umzusteigen".
LG Al-Chw.
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Das mit dem Richtungsfeld hört sich zwar sehr gut an, aber davon hab ich leider bisher gar keine ahnung und weiß überhaupt nicht, wie man so was skizziert und inwiefern es dann hilft...(?)
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> Das mit dem Richtungsfeld hört sich zwar sehr gut an, aber
> davon hab ich leider bisher gar keine ahnung und weiß
> überhaupt nicht, wie man so was skizziert und inwiefern es
> dann hilft...(?)
Das Beispiel deiner Aufgabe eignet sich ausgezeichnet,
um das Konzept zu erklären. Die DGL
$\ y'\ =\ [mm] 2*\sqrt{|y-1|}$
[/mm]
besagt ja, dass eine Lösungskurve in einem Punkt P(x|y)
die Steigung $\ m\ =\ [mm] 2*\sqrt{|y-1|}$ [/mm] hat. Nun kann man einfach
in vielen Punkten der x-y-Ebene kleine Tangentenstücklein
mit der so definierten Steigung einzeichnen. Jede mögliche
Lösungskurve muss sich dann in dieses Bild einfügen wie
eine "Magnetfeldlinie" in ein von Eisenfeilspänen darge-
stelltes ![[]](/images/popup.gif) Bild .
In deinem Beispiel sieht das dann z.B. etwa so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dafür gibt es auch Applets wie z.B. da:
http://www.ateus.ch/Scd/MathApplets/RtgFeld.htm
http://www.msl.uni-bonn.de/java/RungeKutta/dgl.html
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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danke schön dafür, jetzt verstehe ich was du meinst.
in der prüfung wirds wohl allerdings schwer, mir sowas zu zeichnen. v.a. weil ichs zwar versteh, was es darstellt, es mir aber ja auch nur eine ungefähre vorstellung der lösung vermittelt.
bei all den informationen, ich weiß jetzt immer noch nicht genau, wie konkret ich jetzt an die aufgabe herangehe.
ehrlich gesagt kann ich nicht mal begründen, ob nun die rechte seite die lipschitzbedingung erfüllt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Dath |
In einer Prüfung wirst du in den seltensten Fällen mit dem Zeichnen eines Richtungsfeldes in der Detailtiefe, die ein Computer bewerkstelligen kann, konfrontiert werden. Wenn du alle Übungsaufgaben noch einmal vor der Prüfung nachvollzogen hast, dann sollte die Prüfung doch zu bestehen sein. Viel Glück schon mal.
EDIT: Nicht verzweifeln. Ich hab auch schon so manches (eher viele) Mathebücher angeschrien. Im zweifel behauptest du einfach, dass man aus der Stetigkeit sehen kann, dass die r.S. die L-Bedingung erfüllt.
Anmerkung: Ich will das da oben "nicht gesagt haben" - das sind nur prüfungstaktische Ratschläge, keine fachlichen, man möge mir bitte die fehlende Präzision verzeihen.
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naja, ich habe die frage hier ja nicht gestellt, weil ich hoffe, dass ich in einer prüfung nicht in dieser detailtiefe argumentieren muss, sondern, dass ich gewisse basics -wie das mit der lipschitzbedingung- verstehe.
das hat ja auch nichts mit wiederholten übungsaufgaben zu tun.
vielleicht weiß es ja einfach doch jemand?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Dath |
Wenn es sic speziell auf die Übungsaufgabe bezieht, dann erfüllt die rechte Seite (zear nicht global) aber zumindest lokal eine Lipschitz-Bedingung. Sagt dir der Begriff lipschitz-Stetigkeit etwas? Sicherlich. Eine Wurzelfunktion [mm]\wurzel{x}[/mm] ist sicherlich nicht bei 0 Lipschitz-stetig, man kann aber das Intervall (0.5;2) wählen, und da ist die Funktion Lipschitzstetig. Allgemein ist ja eine diff.-bare Funktion Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist. Bei der o.g. Wurzelfunktion ist das bei [mm]x=0[/mm] nicht der Fall.
Wie man Lipschitzstetigkeit in Beziehung zur Lipschitzbedingung setzt, sollte eigentlich jeden Vorlesung behandeln (oder du konsultierst Wikipedia!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 10.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal geht es um Lösungen für y(0)=0 also ist in der umgebung |y-1|=1-y
und du hast Lipschitzstetigkeit bis y<1
für y=1 hast du die einfache lösung y=1,y'=0 auf die du bei y=1 "umsteigen kannst, und die fkt kannst du jederzeit wieder verlassen und in deine [mm] (x+c)^2+1 [/mm] umsteigen.
deshalb existieren alle deine Lösungen.
natürlich musst du die 2 gebiete y>1 und y<1 getrennt betrachten und nur zeigen, dass du "umsteigen kannst.
In ner prüfung ein einfaches richtungsfeld zu zeichnen, insbesondere, wenn es wie hier in jeder Höhe y denselben Wert hat ist schon ratsam. allein dass du es zeichnest, gibt schon + Punkte. und in ein richtungsfeld ungefähre lösungen einzuzeichnen ist auch leicht.
Gruss leduart
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