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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:18 Fr 30.06.2006 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | Zeigen Sie, ob diese Matrizen diagonalisierbar sind.
[mm] \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix} [/mm] |
um zu zeigen, ob eine matrix diagonalisierbar ist muss ich ja, die eigenwerte, den eigenraum und den eigenvektor bestimmen, und die schauen, ob die dimension mit n übereinstimmt,oder?
kann oder muss ich die matrix auf zeilenstufenform bringen??
in dem fall auf
[mm] \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 3\\
\end{pmatrix}
[/mm]
dann ergeben sich als eigenwerte [mm] \lambda_1= [/mm] -2, [mm] \lambda_2=1 [/mm] und [mm] \lambda_3= [/mm] 3, wenn ich dann nachher die dimensionen addiere ich halte ich dimV=3=n, also ist die matrix diagonalisierbar.
ich darf aber nicht, die jeweilgen zeilen mit einem faktor dividiere so dass überall eine 1 steht,oder, da ja dann auch andere eigenwerte herauskommen?????
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Guten Morgen!
Nein, auf Zeilenstufenform bringen ist nicht erlaubt. Wie Du selbst bemerkt hast, ist es dort möglich, die Diagonalwerte zu ändern. Außerdem ist jede Matrix durch Zeilen- und Spaltenumformungen auf Diagonalgestalt bringbar, aber eben nicht jede Matrix ist "diagonalisierbar".
Das hängt mit der Basenwahl zusammen. Bei Diagonalisierbarkeit sucht man ja eine Basis aus Eigenvektoren, also eine Basis, so dass der gegebene Endomorphismus von einer Diagonalmatrix dargestellt wird, wenn man dieselbe Basis im Quell- und Zielraum (beides $V$) zugrundelegt.
Wenn man verschiedene Basen zuläßt, dann entspricht das beliebigen Zeilen- und Spaltenoperationen.
Deshalb ist das verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten ein Anderes: bestimme das charakteristische Polynom der Matrix und berechne dessen Nullstellen. 
Alles klar? Viel Erfolg!
Lars
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danke, also ich habe als eigenwert nur [mm] \lambda= [/mm] -2 rausbekommen, wenn ich das in die matrix einsetze erhalte ich [mm] v_1=v_1, v_2=0 [/mm] und [mm] v_3=0, [/mm] und damit doch dim=1,oder???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 02.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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