diagonalisierbar < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 20.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine symmetrische Matrix, die nicht diagonalisierbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich dachte, symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar.
Also vermute ich, dass ich vielleicht nach [mm] \IC [/mm] ausweichen muss. Hier zerfällt aber das char.Polynom immer in Linearfaktoren, was ja auch eine Vorraussetzung für Diagonalisierbarkeit ist.
Ist das bisher richtig ?
Muss ich dann eine Matrix finden in [mm] \IC, [/mm] wo die algebraische Vielfachheit ungleich der geometrischen Vielfachheit ist ?
Wäre dann [mm] \pmat{i&1\\1&i} [/mm] so eine Matrix ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Geben Sie ein Beispiel für eine symmetrische Matrix, die
> nicht diagonalisierbar ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
Hallo,
> ich dachte, symmetrische Matrizen sind immer
> diagonalisierbar.
Nein, das stimmt so allgemein nicht. Nur reelle symmetrische Matrizen.
> Also vermute ich, dass ich vielleicht nach [mm]\IC[/mm] ausweichen
> muss.
Ja, das sieht gut aus.
> Hier zerfällt aber das char.Polynom immer in
> Linearfaktoren, was ja auch eine Vorraussetzung für
> Diagonalisierbarkeit ist.
Ja
>
> Ist das bisher richtig ?
> Muss ich dann eine Matrix finden in [mm]\IC,[/mm] wo die
> algebraische Vielfachheit ungleich der geometrischen
> Vielfachheit ist ?
Genau.
> Wäre dann [mm]\pmat{i&1\\1&i}[/mm] so eine Matrix ?
Nein, die ist diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind i+1 und i-1, haben jeweils die algebraische Vielfachheit 1, damit sind die geometrischen Vielfachheiten auch 1 und die Matrix somit diagonalisierbar.
>
> Danke, Susanne.
>
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Fr 20.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo djmatey,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
> > Wäre dann [mm]\pmat{i&1\\1&i}[/mm] so eine Matrix ?
>
> Nein, die ist diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind i+1 und
> i-1, haben jeweils die algebraische Vielfachheit 1, damit
> sind die geometrischen Vielfachheiten auch 1 und die Matrix
> somit diagonalisierbar.
OK, dann bin ich aber grundsätzlich auf dem richtigen Weg.
Muss ich jetzt probieren, oder gibt es einen Trick ? Wie hast du denn so schnell diese beiden EW gefunden ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
Du bist auf dem richtigen Weg. =)
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Einen Trick kenne ich so direkt auch nicht, ich probier's gerade aus....
LG djmatey 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Fr 20.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo djmatey
VIELEN DANK !
Ich muss jetzt leider weg und kann deshalb erst später rumprobieren.
LG, Susanne.
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