diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die folgende diagonalisierbare Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Bestimme ine reguläre Matrix T [mm] \in \IR [/mm] ^{4x4}, so dass [mm] T^{-1}AT [/mm] eine reelle Eigenwertmatrix ist. |
Meine Frage ist nun, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Ich habe mir überlegt es so zu machen
1. Eigenwerte mit charakteristischem Polynom zu berechnen
2. Zu den Eigenwerten die jeweiligen Eigenvektoren zu bestimmen
3. Eigenvektoren normieren mittel Gram-Schmidt
4. normierte Eigenvektoren als Spalten zu meiner Matrix T zusammenfassen
5. Gleichung lösen
wäre das der richtige Weg oder liege ich da völlig daneben??
|
|
| |
|
Hallo lustigerhurz,
> Gegeben sei die folgende diagonalisierbare Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> Bestimme ine reguläre Matrix T [mm]\in \IR[/mm] ^{4x4}, so dass
> [mm]T^{-1}AT[/mm] eine reelle Eigenwertmatrix ist.
> Meine Frage ist nun, wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll.
> Ich habe mir überlegt es so zu machen
>
> 1. Eigenwerte mit charakteristischem Polynom zu berechnen
>
> 2. Zu den Eigenwerten die jeweiligen Eigenvektoren zu
> bestimmen
>
> 3. Eigenvektoren normieren mittel Gram-Schmidt
Die Eigenvektoren werden normiert, in dem man sie durch deren Betrag teilt.
>
> 4. normierte Eigenvektoren als Spalten zu meiner Matrix T
> zusammenfassen
>
> 5. Gleichung lösen
>
> wäre das der richtige Weg oder liege ich da völlig
> daneben??
>
Ja, das ist schon der richtige Weg.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Okay, erstmal danke für die antwort. stecke aber schon fest.
Als charakteristisches Polynom habe ich
[mm] \lambda^{4}-2\lambda^{3}+6\lambda^{2}-2\lambda+5
[/mm]
wie bestimme ich dort die Nullstellen. Durch raten bekomme ich keine Nullstelle heraus
|
|
|
| |
|
Hallo lustigerhurz,
> Okay, erstmal danke für die antwort. stecke aber schon
> fest.
>
> Als charakteristisches Polynom habe ich
>
> [mm]\lambda^{4}-2\lambda^{3}+6\lambda^{2}-2\lambda+5[/mm]
Das musst nochmal nachrechnen.
>
> wie bestimme ich dort die Nullstellen. Durch raten bekomme
> ich keine Nullstelle heraus
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
so kay, jetzt müsste es stimmen, habs mehrmals nachgerechnet:
[mm] \lambda^{4} [/mm] - [mm] 2\lambda^{3} [/mm] + [mm] 6\lambda^{2} [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] + 5
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dein char. Polynom stimmt.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
so kay, jetzt müsste es stimmen, habs mehrmals nachgerechnet:
[mm] \lambda^{4} [/mm] - [mm] 2\lambda^{3} [/mm] + [mm] 6\lambda^{2} [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] + 5
das problem mit den Nullstellen besteht bei mir aber immernoch. Ich kenne es nur bei Polynomen höchstens vom Grad 3. Dort such ich mir eine Nullstelle durch raten und die anderen bekomme ich dann mit der Mitternachtsformel.
Aber hier weiß ich nun echt keinen Rat....
|
|
|
| |
|
Hallo lustigerhurz,
das charakteristische Polynom hat hier keine reellen Nullstellen:
Du siehst das, wenn du es schreibst als
[mm] $cp(\lambda)=\lambda^4-2\lambda^3+6\lambda^2-2\lambda+5=(\lambda^2+1)(\lambda^2-2\lambda+5)$
[/mm]
Das hat die Nullstellen [mm] $\lambda_1=i, \lambda_2=-i, \lambda_3=1-2i, \lambda_4=1+2i$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Wow super, vielen vielen Dank.
Jetzt ists gut anschaulich und logisch. Auf das Zusammenfassen wär ich so schnell nicht gekommen.
|
|
|
| |
|
Eine Frage hätte ich dann doch noch........Ich soll ja eine reelle Eigenwertmatrix bestimmen. Kann ich dies denn, wenn ich nur komplexe Eigenwerte habe???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
auf der Diagnale der Diagnoalmatrix stehen ja die Eigenwerte der Matrix. Wenn diese Komplex sind, dann stehen dort eben komplexe Werte.
LG
Kroni
|
|
|
|
