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hi,
ich hab die matrizen [mm] A=\pmat{0&0&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1}
[/mm]
[mm] B=\pmat{0&1&1&0\\1&0&0&-1\\1&0&0&1\\0&-1&1&0}
[/mm]
ich muß untersuchen ob sie über [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar sind, was ja einfach über die nullstellen des char. polynoms geht, sol heißen, wenn alle eigenwerte [mm] \not= [/mm] 0 sind.
wenn die matrix nun diagonalisierbar ist, soll ich eine matrix [mm] S^{-1} [/mm] bestimmen, sodass [mm] SAS^{-1}, [/mm] bzw. [mm] SBS^{-1} [/mm] diagonal wird-
wie erstelle ich nun dieses S? muß ich auf gut glück herumknobeln oder gibt es dafür sowas wie ne anleitung?
danke
gruß
stefan
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Hallo!
> diagonalisierbar sind, was ja einfach über die nullstellen
> des char. polynoms geht, sol heißen, wenn alle eigenwerte
> [mm]\not=[/mm] 0 sind.
Das stimmt leider nicht so ganz... Wenn $0$ kein Eigenwert ist, so ist die Matrix invertierbar.
Diagonalisierbar hingegen ist sie dann, wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert. Und diese Basis trägst du dann auch in die Spalten der Matrix [mm] $S^{-1}$ [/mm] ein. Dann ergibt sich die Diagonalform.
Weißt du jetzt, wie du weitermachen musst?
Gruß, banachella
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wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, errechne ich die eigenwerte, mache daraus die eigenvektoren und dann schaue ich ob die eigenvektoren eine basis ergeben, und füge sie dann zur matrix [mm] S^{-1} [/mm] zusammen?
mir ist nur im moment unklar, wegen der eigenvektoren..
ich setzte dafür ja die jew. eigenwerte ein und mache dann gauß, dass ich eine obere dreiecksmatrix erhalte. oder? und dann löse ich die gleichung?
ob es über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] diagonalisierbar ist, das lese ich ja an den eigenwerten ab, richtig?
gruß
stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 15.06.2005 | | Autor: | NECO |
> wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, errechne ich
> die eigenwerte, mache daraus die eigenvektoren und dann
> schaue ich ob die eigenvektoren eine basis ergeben, und
> füge sie dann zur matrix [mm]S^{-1}[/mm] zusammen?
> mir ist nur im moment unklar, wegen der eigenvektoren..
> ich setzte dafür ja die jew. eigenwerte ein und mache dann
> gauß, dass ich eine obere dreiecksmatrix erhalte. oder? und
> dann löse ich die gleichung?
Der Eigenvektor ist dann der Kern von (A- [mm] \lambda [/mm] I) also du musst die homogene LGS lösen. Wenn du alle Eigenvekltoren gefunden hast, kannst du dann die Eigenvektoren als Spalte in einem Matrix schreiben. Davon die Inverse finden.
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> ob es über [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] diagonalisierbar ist, das lese ich
> ja an den eigenwerten ab, richtig?
>
> gruß
>
> stefan
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Hallo!
Bei der Matrix B hast Du noch das Glück, daß die symmetrisch ist. Dann gilt nämlich SBS^{-1} = SBS^{T}.
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