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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 So 31.07.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
sei [mm] \pmat{ 4 & 2+i \\ 2-i & 0}=:A.
[/mm]
Diese Matrix ist hermitisch . Also existiert eine unitäre Matrix Q so, dass Q*AQ
eine Diagonalmatrix ist.
Man soll Q bestimmen. A hat als Eigenwerte 5 und -1.
Dazugehörige Eigenvektoren sind (bei mir) [mm] \vektor{2+i \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{\bruch{-(2+i)}{5}\\ 1}.
[/mm]
Diese Vektoren müßen eigentlich othogonal sein (wenn alles andere stimmt).
Aber sie sind es nicht, oder ?
Wo habe ich den Fehler gemacht?
Gruss
Igor
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> Hallo,
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> sei [mm]\pmat{ 4 & 2+i \\
2-i & 0}=:A.[/mm]
>
> Diese Matrix ist hermitisch . Also existiert eine unitäre
> Matrix Q so, dass Q*AQ
> eine Diagonalmatrix ist.
> Man soll Q bestimmen. A hat als Eigenwerte 5 und -1.
> Dazugehörige Eigenvektoren sind (bei mir) [mm]\vektor{2+i \\
1}[/mm]
> und [mm]\vektor{\bruch{-(2+i)}{5}\\
1}.[/mm]
> Diese Vektoren müßen
> eigentlich othogonal sein (wenn alles andere stimmt).
Hallo,
ja.
> Aber sie sind es nicht, oder ?
Doch.
>
> Wo habe ich den Fehler gemacht?
Bei der Berechnung des Skalarproduktes.
Schau Dir mal die Definition des Standardskalarproduktes im [mm] \IC^n [/mm] an...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 31.07.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ja , der Fehler lag beim Berechnen des Skalarprodukts. Danke schön.
Wenn man Q*AQ berechnen möchte, dann nimmt man für Q die beiden Eigenvektoren (normiert) als Spalten von Q.
Dann gilt : Q=
[mm] \pmat{ \bruch{2+i}{\wurzel{6}} & \bruch{-2-i}{5\wurzel{\bruch{1}{5}+1}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} & \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{5}+1}} }
[/mm]
Q*= [mm] \pmat{ \bruch{2-i}{\wurzel{6}} & \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{-2+i}{5\wurzel{\bruch{1}{5}+1}} & \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{5}+1}} }
[/mm]
Bei mir kommt als Q*AQ eine Matrix raus, deren Diagonale nicht die Eigenwerte von A erhält. Jedoch Q*AQ muss auf der Diagonale die Eigenwerte von A haben, oder?
Es kann sein, dass ich mich verrechnet habe, aber vielleicht auch einen grundlegenden Fehler gemacht.
Ich habe paar Mal geprüft, aber keinen gefunden.
Könnt Ihr mir bitte bei der Suche weiterhelfen?
Gruss
Igor
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Hallo,
alles, was Du schreibst, sieht für mich richtig aus.
Wahrscheinlich hast Du Dich beim Ausführen der Matrixprodukte verechnet.
Gruß v. Angela
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