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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mi 28.06.2006 | | Autor: | annaL |
hallo!
Ich habe mal wieder einige Problemchen und würde mich freuen wenn ihr mal über meine Aufgaben schaut und mir evtl. mal "in kindersprache" erklären könntet, wie man bei solchen Aufgaben vorzugehen hat bzw. mir vielleicht einmal an meinen Beispielen vorrechnet.
Ich tue mich nämlich immer leichter wenn ich Beispielaufgaben habe :0)
Danke!
1. ) prüfe, ob sich die lineare Abbildung f:V-->V durch eine Diagonalmatrix beschreiben lässt.
Wenn ja, bestimme eine solche matrix mit zugehöriger Basis von V! und Transformierender!
[mm] V=R^2
[/mm]
f(x) = 5 1 *x ( Ich meine natürlich die gegebene Matrix *x)
2 7
2. Transformiere die Matrix A auf Diagonalform mit Angabe der Transformationsmatrix T.
A = 5 2 1
2 3 -4
2 -3 2
Ich weiß leider überhaupt nicht was ich zu zun habe. Habe auch schon im Netz nach Beispielaufgaben gesucht, doch leider vergebens :(
DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Mi 28.06.2006 | | Autor: | annaL |
zu 1 ) die Matrix lautet:
[mm] \pmat{ 5 & 2 \\ 1 & 7 }
[/mm]
zu 2 ) die Matrix soll heißen :
5 2 1
2 3 -4
2 -3 2
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Hallo!
Ich habe ein ähnliches Problem ( die aufgabenstellungen sind etwas anders ) aber ich tue mich auch seeehr schwer mit der diagonalmatrix und wäre über eine erklärung erfreut.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mi 28.06.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
falss immer noch Punkten offen sind einfach noch mal nachfragen.
Gruß
Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mi 28.06.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
die suchst also eine Basis so dass gilt:
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] für die Einheitsvektoren dieser Basis gilt:
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \vektor{1 \\ 0}=a \vektor{1 \\ 0} [/mm] und
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \vektor{0 \\ 1}=b \vektor{0 \\ 1} [/mm] die neuen Basisvektoren müssen also Eigenvektoren deiner Matrix sein. Du musst also die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmen. Die Eigenwerte sind dann die Einträge auf der Diagonalen der Diagonalmatrix.
Gruß
Frank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Do 29.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hallo Frank!
Leider ist mir immernoch nicht wirklich klar, wie ich eine solche Aufgabe lösen soll.
1. ) wie prüfe ich ob sich eine Abbildung durch eine Diagonalmatrix darstellen lässt?
2. wie bestimme ich dann eine solche Matrix mit zugehöriger Basis?
3. Wie transformiere ich eine gegebene Matrix auf Diagonalform mit Angabe der Transformationsmatrix?
Alles Fragen dir mir noch völlig unklar sind....
wäre froh wenn sie mir jemand am Beispiel erklären würde....
Lieben lieben Dank
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Hallo,
du kannst es auch so machen:
1. Die Matrixdarstellung der Abbildung bestimmen (am einfachsten, indem du die Standardbasisvektoren nimmst).
2. Nimm diese Matrixdarstellung und bestimme das charakteristische Polynom, Eigenwerte.
3. Bestimme die Eigenvektoren.
4. Eine Matrix ist dann diagonalisierbar, wenn
a.) das charakteristsiche Polynom in linearfaktoren zerfällt --> wenn du also Eigenwerte bestimmen kannst
b.) wenn die Dimension des Eigenraumes zu einem Eigenvektor mit dem Vorkommen dieses Eigenwertes im charketeristsichen Polynom übereinstimmt, z.B. chP (A) = (x - [mm] 2)^{2}(x [/mm] - 1) --> Der Eigenwert 2 kommt zweimal vor, d.h. die Dimension seines Eigenraumes muss auch 2 sein. wichtig: die Basis des Eigenraumes ist/sind die Eigenvektoren zu einem Eigenwert.
--> schau in deinem Buch auch nochmal unter allgemeines Diagonalisierbarkeitskriterium --> da steht genau das drin
5. Wenn die Vorrausetzungen stimmen, dann kannst du die Abbildung auch mit der Matrix darstellen, die die Eigenwerte auf der Diagonalen hat. Und die Basis, die du einsetzen musst, um auf diese Matrix zu kommen, sind die Eigenvektoren. Du machst also einen Basiswechsel. (Die Transformationsmatrix ist einfach nur die Eigenvektoren als Spalten in einer Matrix)
Das ist im groben das Prinzip und Frank wollte darauf hinaus.
Grüße Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Do 29.06.2006 | | Autor: | annaL |
Vielen lieben Dank für eure Bemühungen, tort alldem kann ich die Aufgaben nicht lösen, weil es mir sehr schw3r fällt das ganze anzuwenden.
Trotzdem danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 29.06.2006 | | Autor: | annaL |
Ich soll nun folgende Matrix auf Diagonalmatrix transofirmieren und die Transformationsmatrix angeben:
2 5 -2
2 -4 2
2 2 -4
Nun muss ich ja zuerst die Eigenwerte bestimmen.
Aber dann? Ich verstehe das Prinzip einfach nicht :/
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Hallo AnnaL,
genau als erstes das charakteristische Polynom bestimmen und darüber die Eigenwerte.
Dann nimmst du die Eigenwerte und bestimmst die Eigenvektoren: über (A - xE); dabei ist A die vorgegebene Matrix und x der jeweilige Eigenvektor. Die/ der Eigenvektor/en sind nichts anderes als der Kern von (A - xE), d.h. die entstandene Matrix auf Zeilenstufenform bringen und daran den/ die Eigenvektor/en ablesen.
Ich würde vorschlagen du machst es bis hierher bzw. soweit du kommst und dann machen wir weiter.
Grüße Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Do 29.06.2006 | | Autor: | annaL |
Hi Steffen
Danke, so geht es , glaube ich, ein bißchen besser.
Setze mich dann jetzt mal in Ruhe dran, muss danach noch zu einem Kurs und dann psote ich heute Abend was ich raus habe, okay?
Danke :0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Do 29.06.2006 | | Autor: | steffenhst |
Ok machen wir so. Ich habe bis ca. 18.00 Uhr einen Internetzugang. Viel Spass beim Tüfteln, und du schaffst das bestimmt.
Grüße Steffen
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