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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 03.02.2009 | | Autor: | simplify |
hallo...
ich bin gerade dabei das thema differentiation zusammen zu fassen und hab da noch ein paar kern fragen,die ich nicht verstehe.
1. was bedeuten die landau-symbole o(h), [mm] O(h^{2}) [/mm] und o(1)? wie lassen sich stetigkeit und differenzierbarkeit mit ihrer hilfe ausdrücken?
2.für welche reellen a ist [mm] lxl^{a} [/mm] in x=0 differenzierbar?
3. wieviele minima kann eine strikt konvexe funktion f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] haben?
kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo simplify!
Nimm Dir mal $f(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] als Beispiel eine streng konvexen Funktion. Wieviele Minima hat diese?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 03.02.2009 | | Autor: | simplify |
bei dieser funktion existiert ja nur ein minima bei null (je nach intervall).
also gibt es kein gegenbeispiel für das bestehen mehrerer minimas einer strikt konvexen funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo simplify!
> bei dieser funktion existiert ja nur ein minima bei null
> (je nach intervall).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also gibt es kein gegenbeispiel für das bestehen mehrerer
> minimas einer strikt konvexen funktion?
Das solltest Du mit etwas Überlegen selber herausfinden. Was muss "hinter" einem Minimum passieren, damit ein weiteres Minimumvorliegen kann?
Allerdings haben nicht alle konvexen Funktionen Minima ... denke mal an $f(x) \ = \ [mm] e^x$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo simplify!
Verwende die Definition der Betragsfunktion und bilde den Differenzialquotienten an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :
[mm] $$\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0-h)-f(0)}{0-h-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-h)-0}{-h} [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{0+h-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-0}{h} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:56 Di 03.02.2009 | | Autor: | simplify |
also ich hab bei 2. jetzt ausgerechnet:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(0-h)-f(0)}{0-h-0} [/mm] = [mm] -l-hl^{a-1}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(0+h)-f(0)}{0+h-0}= lhl^{a-1}
[/mm]
richtig? man sieht doch jetzt,dass die betragsfunktion in x=0 nicht differenzierbar ist.setze ich jetzt a=1 dann sieht man erst recht,dass die funktion in x=0 diff.bar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo simplify!
Wo hast Du denn nun die Definition der Betragsfunktion angewendet und den Differentialquotienten berechnet?
Zum Besipiel für $a \ = \ 2$ solltest Du ein positives Ergebnis erhalten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo...
> ich bin gerade dabei das thema differentiation zusammen zu
> fassen und hab da noch ein paar kern fragen,die ich nicht
> verstehe.
>
> 1. was bedeuten die landau-symbole o(h), [mm]O(h^{2})[/mm] und o(1)?
> wie lassen sich stetigkeit und differenzierbarkeit mit
> ihrer hilfe ausdrücken?
die Bedeutung wird sehr ausführlich bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Landau-Symbole geklärt.
In der Informatik (edit: okay, auch in der Mathematik  ) schreibt man manchmal bzw. öfters $f=o(g)$ anstatt $f [mm] \in [/mm] o(g)$ bzw. $f(x)=o(g(x))$ (und analoges), wobei man eigentlich auch die Angabe $x [mm] \to [/mm] a$ ($x [mm] \to [/mm] a^+$, $x [mm] \to [/mm] a^-$) angeben sollte. Oft ist aber klar, wie das gemeint ist (meist ist [mm] $a=\pm\infty$ [/mm] oder [mm] $a=0\,,$ [/mm] $a=0^+$ oder $a=0^-$).
Nun zur Stetigkeit:
[mm] $\,f\,$ [/mm] ist genau dann stetig in [mm] $x_0$, [/mm] wenn [mm] $f(x_0+h) \to f(x_0)$ [/mm] ($h [mm] \to [/mm] 0$). Nun gilt aber [mm] $f(x_0+h) \to f(x_0)$ [/mm] ($h [mm] \to [/mm] 0$) genau dann, wenn [mm] $f(x_0+h)-f(x_0) \to [/mm] 0$ ($h [mm] \to [/mm] 0$).
Mit [mm] $1(h)\,:=\,1$ [/mm] für alle [mm] $\,h$ [/mm] ist das letzte gleichwertig zu
[mm] $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{1(h)} \to 0\;\;(h \to 0)\,,$$
[/mm]
was mit [mm] $g_{x_0}$ [/mm] definiert durch [mm] $g_{x_0}(h):=f(x_0+h)-f(x_0)$ [/mm] gleichwertig zu
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{g_{x_0}(h)}{1(h)}=0$$
[/mm]
ist. Mit anderen Worten:
[mm] $$g_{x_0}(h) \in o(1(h))\;\;(h \to 0)\,,$$
[/mm]
oder mit der Ursprungsfunktion
[mm] $$f(x_0+h)-f(x_0)=o(1)\;\;(h \to 0)\,.$$
[/mm]
Und zur Differenzierbarkeit kannst Du Dir das nun entweder selbst überlegen, oder z.B. hier nachschlagen (oder als Kontrolle nutzen).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 3. wieviele minima kann eine strikt konvexe funktion f:
> [a,b] [mm]\to \IR[/mm] haben?
nur eine kleine Vorsichtsmaßnahme:
Argumentiere bitte nicht mit der Ableitung. Es gibt strikt konvexe Funktionen, die nur fast überall differenzierbar sind. Und Du kennst auch ein einfaches Beispiel, wo Du nicht mit der Ableitung argumentieren kannst:
Sei $0 [mm] \in [/mm] [a,b]$ und $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=|x|\,.$
[/mm]
Edit: Das mit [mm] $|\,.|$ [/mm] war Quatsch, da [mm] $|.|\,$ [/mm] nicht strikt konvex ist.
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Neues Beispiel:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \le 1 \\ x^4, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}\,,$$
[/mm]
ist strikt konvex auf ganz [mm] $\IR\,,$ [/mm] aber nicht diff'bar in [mm] $x_0=1\,$(insbesondere [/mm] gilt gleiches auf jedem Intervall [mm] $[a,\,b]$ [/mm] mit [mm] $\,a [/mm] < b$ und $1 [mm] \in [/mm] [a,b]$.)
Aber nimm' nun mal an, es gebe [mm] $x_1 \not=x_2\,,$ $x_{1,2} \in [/mm] [a,b]$ (o.E. $a < [mm] b\,$) [/mm] so, dass [mm] $x_{1,2}$ [/mm] lokale Minimalstellen für [mm] $\,f\,$ [/mm] sind. O.E. sei [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2\,.$ [/mm]
Untersuche nun die Fälle [mm] $f(x_1)=f(x_2)\,,$ $f(x_1)f(x_2)\,,$ [/mm] und zeige unter Benutzung der strengen Konvexität von [mm] $f\,,$ [/mm] dass man somit einen Widerspruch zur Annahme [mm] ''$x_1 \text{ und }x_2$ [/mm] sind lokale Minimalstellen für [mm] $f\,$'' [/mm] erhält.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mi 04.02.2009 | | Autor: | simplify |
dankeschön...werde jetzt wohl erstmal noch einiges nachlesen.
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