differentiation der umkehrfkt. < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=x^3+4x+14 [/mm] ; [mm] \ID [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
a) klären sie, ob die funktion umkehrbar ist!
b) welchen wert hat die ableitung der umkehrfunktion an der stelle x=30?
c) wo hat der graph der umkehrfunktion die maximale/minimale steigung? |
zu a) ich bilde zuerst die ableitung und prüfe damit nach, ob die funktion streng monoton fallend oder steigend ist
zu b) die richtige lösung lautet: [mm] \bruch{1}{16} [/mm] wie kommt man darauf?
zu c) bei 0 und [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
aber wie kommt man darauf? zuerst eben schaun, wo die ableitung der ausgangsfunktion die maximale und minimale steigung hat und das dann umkehrn oder so...aber wie macht man das denn mit max. und min. steigung?
danke:)
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Hallo mickeymouse!
> [mm]f(x)=x^3+4x+14[/mm] ; [mm]\ID[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> a) klären sie, ob die funktion umkehrbar ist!
> b) welchen wert hat die ableitung der umkehrfunktion an
> der stelle x=30?
> c) wo hat der graph der umkehrfunktion die
> maximale/minimale steigung?
> zu a) ich bilde zuerst die ableitung und prüfe damit nach,
> ob die funktion streng monoton fallend oder steigend ist
Kannst du so machen, ja. Theoretisch könntest du sie auch zeichnen und gucken, ob sie injektiv ist, das heißt, dass jeder Wert auf der y-Achse höchstens einmal angenommen wird, aber das ist natürlich viel umständlicher.
Oder, du berufst dich auf Teil b), in dem mit der Umkehrfunktion gearbeitet wird. Also muss es ja eine geben. 
> zu b) die richtige lösung lautet: [mm]\bruch{1}{16}[/mm] wie
> kommt man darauf?
Kann das sein, dass du dich hier irgendwo verschrieben hast? Auf dieses Ergebnis komme ich nämlich auch nicht. :-/ Wenn [mm] \overline{f} [/mm] die Umkehrfunktion von f ist, dann gilt für die Ableitungen: [mm] \overline{f}'=\frac{1}{f'}.
[/mm]
> zu c) bei 0 und [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> aber wie kommt man darauf? zuerst eben schaun, wo die
> ableitung der ausgangsfunktion die maximale und minimale
> steigung hat und das dann umkehrn oder so...aber wie macht
> man das denn mit max. und min. steigung?
> danke:)
Also einmal bin ich der Meinung, dass folgendes gilt: Dort, wo die Steigung der Funktion maximal ist, ist die Steigung der Umkehrfunktion minimal und umgekehrt. Wenn man sich überlegt, dass die Umkehrfunktion ja eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden ist, müsste das doch eigentlich stimmen, oder? Und dann müsstest du halt berechnen, wo deine Funktion maximale und minimale Steigung hat. Da die Ableitung die Steigung angibt, musst du Hoch- und Tiefpunkte der Ableitung berechnen (Achtung, dafür musst du Nullstellen der zweiten Ableitung suchen!).
Oder du wendest die Formel aus Teil b) an. Die gibt dir ja dann die Steigung der Umkehrfunktion an - auch hier kannst du dann Hoch- und Tiefpunkte davon suchen (wieder mit der zweiten Ableitung).
Allerdings komme ich da mit beiden Methoden nur auf die Stelle 0 - irgendwas muss ich da wohl gerade übersehen. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, mickeymouse,
> [mm]f(x)=x^3+4x+14[/mm] ; [mm]\ID[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> a) klären sie, ob die funktion umkehrbar ist!
> b) welchen wert hat die ableitung der umkehrfunktion an
> der stelle x=30?
> c) wo hat der graph der umkehrfunktion die
> maximale/minimale steigung?
> zu a) ich bilde zuerst die ableitung und prüfe damit nach,
> ob die funktion streng monoton fallend oder steigend ist
> zu b) die richtige lösung lautet: [mm]\bruch{1}{16}[/mm] wie
> kommt man darauf?
Zunächst brauchst Du mal alle Koordinaten des Punktes.
Also: Der Punkt Q(30 / ?) liegt auf dem Graphen der Umkehrfunktion; dann liegt der Punkt P(? / 30) auf dem Graphen der ursprünglichen Funktion.
Berechnen wir die x-Koordinaten von P:
[mm] x^{3} [/mm] + 4x + 14 = 30
daraus: [mm] x^{3} [/mm] + 4x - 16 = 0
Raten: x=2. (Wegen Umkehrbarkeit einzige Lösung!)
Also: P(2 / 30); Q(30 / 2)
Nun gilt also laut "Umkehrregel":
[mm] \overline{f}'(30) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(2)}
[/mm]
Mit f'(x) = [mm] 3x^{2} [/mm] + 4
und somit f'(2) = 16
folgt das gewünschte Ergebnis!
mfG!
Zwerglein
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vielen vielen dank für eure antworten! endlich erscheints mir logisch:)
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gut, aufgabe a) und b) sind gelöst:)
bei der c) weiß ich immer noch nicht so ganz, was ich machen soll, um auf die richtige lösung zu kommen...
die zweite ableitung hat ja bloß eine nullstelle für x=0; aber wie gehts denn weiter? wie rechnet man denn die max./min. steigung aus? ich komm einfach nicht drauf...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberleg nochmal, wie die Ableitung von fkt und Umkehrfkt zusammenhaengen.
Wenn die fkt steil ist ist die Umkehrfkt ??
wenn die fkt am steilsten ist ist die Ukfkt am???
klar?
zeichne doch ne bel. fkt und ihre Umkehrfkt! an der Winkelhalbierenden spiegeln!
Gruss leduart
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ja, also da, wo der graph der ausgangsfunktion am steilsten is, is die umkehrfunktion am flachsten!
aber wie find ich bei der funktion raus, wo der graph der ausgangsfunktion am steilsten is?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
f'(x) gibt die Steigung an. wenn ich das nicht f' nenne sondern g findest du dann das max und das min?
Gruss leduart
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man muss doch zuerst die zweite ableitung gleich 0 setzen, oder?
also
6x=0
für x=0
dann in die erste ableitung, also
f´(0)=4
aber das is ja dann erst die minimale steigung, oder? hat die funktion also im punkt (0;14) die minimale steigung?
und wie komm ich dann auf die maximale?
für die umkerfunktion muss ich das ja dann noch umdrehen, also hat die umkehrfunktion als maximale steigung [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Di 20.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, die fkt hat in x=0 ihre minimale Steigung und damit die Umkehrfkt die maximale bei x=f(0)
da f' ne parabel ist gibt es nur ein Minimum der Steigung!
maximal ist die steigung fuer [mm] \pm \infty! [/mm] da geht die Steigung der fkt gegen infty, die der Umkehrfkt also gegen 0 das ist die kleinst Steigung der Umkehrfkt!
Gruss leduart
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