differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Di 18.12.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Sei g: R-->R und [mm] g(x)=\wurzel{|x|}
[/mm]
ist g stetig und differenzierbar? |
wenn man gezeigt hat, dass g differenzierbar ist, ist sie jaa auch stetig...
um zu zeigen, dass sie differeznierbar ist...
[mm] \bruch{\wurzel {|x+h|}-\wurzel{|x|}}{h}
[/mm]
wie kann man denn die wurzel auf dem zähler zusammenziehen?
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Hallo Kreide,
das mit den Beträgen ist schwierig.
Ich würde eine Fallunterscheidung bzgl. $x$ machen:
(1) x>0
(2) x<0
(3) x=0
Fall (1) und (2) sollten schnell verarztet sein, aber Fall (3) schaue dir genauer an.
Ist das Ding in 0 diffbar? Oder nur stetig? Oder nix von beidem?
Denke an sowas wie links- und rechtsseitiger limes des Differenzenquotienten ....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 20.12.2007 | | Autor: | MepH |
Hallöle,
da ja gilt:
[mm] g(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{für } x \mbox{>0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0} \\ \wurzel{-x}, & \mbox{für } x \mbox{<0} \end{cases}
[/mm]
bringt mich z.B. linksseitiger Grenzwert bei der Stelle x=0 zu:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}} \bruch{\wurzel{-y}}{y}
[/mm]
Wieso kann ich sagen, dass das gegen [mm] -\infty [/mm] geht (was es denke ich tut)?
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Hallo MepH,
> Hallöle,
>
> da ja gilt:
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{für } x \mbox{>0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{=0} \\ \wurzel{-x}, & \mbox{für } x \mbox{<0} \end{cases}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bringt mich z.B. linksseitiger Grenzwert bei der Stelle x=0
> zu:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{-}} \bruch{\wurzel{-\red{x}}}{\red{x}}[/mm]
>
> Wieso kann ich sagen, dass das gegen [mm]-\infty[/mm] geht (was es
> denke ich tut)?
Ganz einfach geht es mit der Regel von de l'Hopital:
Für [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{\sqrt{-x}}{x}$ [/mm] hast du den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also kannst du die besagte Regel anwenden.
Alternativ kannst du [mm] $\frac{\sqrt{-x}}{x}$ [/mm] erweitern mit [mm] $\blue{\sqrt{-x}}$
[/mm]
Das gibt [mm] $\frac{\sqrt{-x}}{x}=\frac{\sqrt{-x}\cdot{}\blue{\sqrt{-x}}}{x\cdot{}\blue{\sqrt{-x}}}=\frac{\sqrt{(-x)(-x)}}{x\sqrt{-x}}=\frac{\sqrt{x^2}}{x\sqrt{-x}}=\frac{|x|}{x\sqrt{-x}}=\frac{-x}{x\sqrt{-x}}=\frac{-1}{\sqrt{-x}}$
[/mm]
und das strebt für [mm] $x\uparrow [/mm] 0$ gegen [mm] $\frac{-1}{0}=-\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Di 18.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Etwas hätte ich zu meckern. Du sagtest:
"Wenn die Funktion differenzierbar ist, dann ist sie ja auch stetig". Das ist falsch.
zum Beispiel:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x<0 \\ x+1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
Es folgt f'(x)=1 für alle x.
Die Funktion ist also differenzierbar, obwohl eine Unstetigkeit in Punkt 0 vorliegt.
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Hallo Max,
das stimmt so nicht.
Die Funktion f ist in 0 nicht diffbar !!
Betrache mal den rechtsseitigen limes [mm] $\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{x+1-1}{x}=1$
[/mm]
und im Vgl. den linksseitigen
[mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{x-1}{x}=\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x}=\lim\limits_{x\uparrow 0}\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\infty$
[/mm]
Also war das kein Gegenbsp.
Aus Diffbarkeit folgt immer Stetigkeit
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Di 18.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Okay.
Dann hab ich vielleicht wirklich was falsch verstanden.
Zum Glück hab ich erst im Februar meine Analysis Vordiplomprüfung ^^.
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