differenzierbar im Punkt x < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Eine Abbildung f : I ⊂ [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR [/mm] ist genau dann
differenzierbar im Punkt [mm] x_{0} [/mm] ∈ I, wenn gilt:
Es gibt eine stetige Abbildung [mm] \Delta [/mm] : I → [mm] \IR [/mm] mit
f(x) = f(x0) + [mm] \Delta(x) [/mm] · (x − [mm] x_{0})
[/mm]
für alle x ∈ I.
Es ist dann [mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] \Delta(x0). [/mm] |
Guten Morgen,
ich stehe hier vor einem Problem. Wie genau muss ich meinen Beweis führen, um zu diesem Ergebnis zu kommen? Vor allem weiß ich nicht, wie man auf diese Bedingung 'wenn gilt' genau kommt und kann nicht so recht damit arbeiten.
Wenn mir jemand helfen könnte wäre das nett
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Ich kann auch falsch liegen, aber im Grunde musst du das doch nur umformen, oder?
f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] \Delta*(x [/mm] - [mm] x_{0}) [/mm] | - [mm] f(x_{0})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(x) - [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] \Delta*(x [/mm] - [mm] x_{0}) [/mm] | : (x - [mm] x_{0})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] = [mm] f'(x_{0})
[/mm]
Das wäre ja dan gerade die Bedingung für Differenzierbarkeit im Punkt [mm] x_{0}.
[/mm]
Naja, nur so eine Idee... fehlt aber noch der Limes.
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