differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 07.01.2006 | | Autor: | julie |
| Aufgabe | | An welchen Stellen sind die Funktionen f,g : [mm] \IR \to \IR, [/mm] gegeben durch f(x)= |x| und g(x) = x|x| differenzierbar? |
hallo
ich beschäftige mich jetzt schon seit einiger Zeit mit differenzierbarkeit von Funktionen. Mein Problem ist einfach, das ich kein Beispiel habe an dem ich einfach mal sehe wie man eine Funktion auf differenzierbarkeit untersucht. ich versteh das einfach nicht. deswegen würde ich mich freuen, wenn jemand an der oben genannte Aufgabe oder von mir aus auch an einer andere Aufgabe schritt für schritt zeigen kann, wie ich eine Funktion auf diffbarkeit untersucht..
Ich habe die Frage in keinem anderen Internet Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo julie!
Um nachzuweisen, dass eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist, musst Du zeigen, dass der Differenzenquotient für rechtsseitige und linksseitige Annäherung existiert und jeweils übereinstimmt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
Nehmen wir Deine 1. Funktion $f(x) \ = \ |x|$
[mm] f(x)=|x|=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
"Knackpunkt" dieser Funktion ist die Nahtstelle zwischen diesen beiden Teilfunktionen, also bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Und nun setzen wir mal in die o.g. "Formel" mit dem Differenzenquotienten ein:
Linksseitiger Grenzwert (also $x \ < \ 0$) :
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{(-x)-0}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{-x}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}(-1) [/mm] \ = \ -1$
Rechtsseitiger Grenzwert (also $x \ > \ 0$) :
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{x-0}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{x}{x} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}(+1) [/mm] \ = \ +1 \ [mm] \red{ \ \not= \ -1}$
[/mm]
Die beiden Grenzwerte stimmen also nicht überein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f_$ ist an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht differenzierbar.
Versuchst Du es nun mal mit der anderen Funktion $g(x)_$ selber?
Gruß
Loddar
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Schau auch hier. Da gibt es auch eine Datei zum Herunterladen, die sich genau mit dieser Problematik beschäftigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 07.01.2006 | | Autor: | julie |
hallo
ok also für [mm] g(x)=x|x|=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x<0 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x \ge 0\mbox{} \end{cases}
[/mm]
ich betrachte jetzt [mm] x_{0}=0
[/mm]
übrigens kenn ich diesen ausdruck der unter dem limes steht nciht,..diese 0 mit dem pfeil nach oben bzw unten. hab das jetzt einfach so hingenommen,aber was bedeutet das? das x einmal von der einen seite auf null zuläuft und einmal von der anderen?
Linkseitiger Grenzwert: ( x<0)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (f(x)-f(0))/(x-0)=\limes_{x\rightarrow 0} (-x^2-0)/(x-0)=\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (-x)
Rechtsseitiger Grenzwert: (x>0)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (f(x)-f(0))/(x-0)=\limes_{x\rightarrow 0} x^2/x =\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x
Und da zwei verschiedene Werte rauskommen, ist die funktion an der stelle x=0 nciht differenzierbar
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo julie!
Du hast alles richtig gemacht. Allerdings bleibst Du vor dem letzen Schritt einfach stehen ...
Welche Grenzwerte entstehen für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ bei $-x_$ bzw. $x_$ (ich meine jetzt den konkreten Zahlenwert) ?
Sind die Grenzwerte dann immer noch verschieden?
> übrigens kenn ich diesen ausdruck der unter dem limes steht
> nciht,..diese 0 mit dem pfeil nach oben bzw unten. hab das
> jetzt einfach so hingenommen,aber was bedeutet das? das x
> einmal von der einen seite auf null zuläuft und einmal von
> der anderen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau! Bei [mm] $...\uparrow$ [/mm] nähern wir uns von unten her (also linksseitig) und umgekehrt. Es gibt auch die Darstellung [mm] $x\rightarrow 0\red{+}$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow 0\red{-}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Sa 07.01.2006 | | Autor: | julie |
hey!
laufen dann beide gegen null?? ja oder? also ist die funktion doch differenzierbar?
ja cool, vielen dank!! jetzt bin ich mir wenigstens sicher!! danke!und dickes lob für so viel gedult
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo julie!
> laufen dann beide gegen null?? ja oder? also ist die
> funktion doch differenzierbar?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau ...
Gruß
Loddar
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