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Hallo zusammen. Ich habe mal eine wichtige Frage. Ich soll berechnen, in welchen Punkten die folgende Funktion diff'bar ist.
Zunächst möchte ich folgendes festlegen. Ist eine Funkltion diff'bar, so ist sie auch stetig. Ist eine Funktion stetig, muss sie allerdings nicht zwingend diff'bar sein. Nun zur Aufgabe:
[mm] f(x)=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \\ x^2+x+1, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
zunächst gucke ich nun einmal ob die Funktion stetig an der Stelle x=0 ist, da diese Stelle ja eigentlich interessant ist. der linksseitige Grenzwert von x-1 ist -1. der rechtsseitige Grenzwert von [mm] x^2+x+1 [/mm] ist 1. Daher ist die Funktion nicht stetig.
Nun möchte ich gucken, ob die Funktion diff'bar an der STelle x=0 ist, da diese STelle ja eigentlich interessant ist. Mit der FOrmel [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] erhalte ich für x-1=1. Mit selber Formel erhalte ich für [mm] x^2+x+1=x+1
[/mm]
Irgdnwie habe ich durch diese Lösungen das Gefühl, dass ich das mit der diff'barkeit noch nicht richtig drauf habe. Könntet ihr mir vielleicht helfen bzw. verbessern??? Ich danke euch schonmal im Vorraus. Mit freundlichen Grüßen domenigge35
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Sa 15.03.2008 | | Autor: | domenigge135 |
Okay also die FOrmel scheint ja soweit richtig zu sein. Aber wenn ich jetzt die Funktion [mm] x^2+x+1 [/mm] in die FOrmel $ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $ einsetze, dann erhalte ich komischerweise x+1. Was genau mache ich also Falsch???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Sa 15.03.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hey! Schreibe uns doch einfach mal deine Rechenschritte auf, dann können wir sehen wo der Fehler liegt. Gruß Patrick
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Also gut meine Rechnung lautet wie folgt. Also das zur Stetigkeit schien ja erstmal richtig zu sein. Wir hatten herausbekommen, dass die Funktion nicht Stetig im Punkt x=0 ist. Nun möchte ich gucken, ob die Funktion diff'bar ist. Ich benutze wie schon beschrieben die Formel $ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $
für x-1 erhalte ich: $ [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{(x-1)-(-1)}{x-0} $=\bruch{x}{x}=1
[/mm]
für [mm] x^2+x+1 [/mm] erhalte ich: [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{(x^2+x+1)-(1)}{x-0}=\bruch{x^2+x}{x}=x+1
[/mm]
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> Wir hatten
> herausbekommen, dass die Funktion nicht Stetig im Punkt x=0
> ist. Nun möchte ich gucken, ob die Funktion diff'bar ist.
Hallo,
Du kannst damit aufhören, bevor Du richtig angefangen hast.
Da Du weißt, daß die Funktion nicht stetig ist, kann sie gar nicht differenzierbar sein.
Aber wir verändern die Funktion jetzt mal so, daß sie stetig ist:
$ [mm] g(x):=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x < 0 \mbox{ } \\ x^2+x+1, & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{} \end{cases} [/mm] $
Nun wollen wir wissen, ob die Funktion g differenzierbar ist.
In den Bereichen [mm] ]0,\infty[ [/mm] und [mm] ]-\infty,0[ [/mm] steht das außer Frage, denn die beiden Teilstücke sind auf den entsprechenden Intervallen diffbar. Sie sind Summen diffbarer Funktionen.
Nachzudenken ist über die Stelle x=0, die "Nahtstelle".
Diffbar an der Stelle 0 bedeutet, daß die Funktion an dieser Stelle "glatt" ist, also keinen Knick hat.
Hierfür betrachtest Du den Grenzwert gegen 0 der Ableitungen von rechts und von links. Sind die beiden Grenzwerte gleich, so ist die Funktion diffbar an der Stelle 0.
Aufmerke: auch bei Deiner Funktion erhältst Du, daß die Grenzwerte der Ableitungen v. rechts und v. links beide gleich sind an der Stelle 0,
denn es ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}2x+1=1
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}f'(x)=1.
[/mm]
Aber die Funktion ist ja nicht stetig, und daher auch nicht diffbar.
Gruß v. Angela
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Achso dann hab ich das Prinzip jetzt auch verstanden. Aber wie kommt es, dass ich statt 2x+1, x+1 erhalte. Dürfte eigentlich nicht sein wenn ich das in die FOrmel einsetze oder???
Ich habe noch eine wichtige Frage. Ich finde desweiteren eine Formel die da lautet: [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x+h)-(f(x_0)}{h}
[/mm]
Ich weiß nicht, was es mit dieser Formel auf sich hat!!! Ist sie vielleicht äquivalent zu [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-(f(x_0)}{x-x_0}???
[/mm]
Ein ähnliches Problem hatte ich auch bei der STetigkeit. Auch hier gab es eine sogenannte h-Methode.
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> Achso dann hab ich das Prinzip jetzt auch verstanden. Aber
> wie kommt es, dass ich statt 2x+1, x+1 erhalte. Dürfte
> eigentlich nicht sein wenn ich das in die FOrmel einsetze
> oder???
Ömm - ich weiß jetzt gar nicht, wovon Du sprichst...
>
> Ich habe noch eine wichtige Frage. Ich finde desweiteren
> eine Formel die da lautet: [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x+h)-(f(x_0)}{h}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, was es mit dieser Formel auf sich hat!!!
> Ist sie vielleicht äquivalent zu [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-(f(x_0)}{x-x_0}???[/mm]
Ja, die machen dasselbe. Es geht ja um zwei Punkte, die "sehr dicht" zusammenliegen.
Unten sind das die Punkte x und [mm] x_0, [/mm] und man guckt, was passiert, wenn x immer dichter an [mm] x_0 [/mm] heranrückt.
Oben sind es die Punkte x und x+h, und man guckt, was passiert, wenn man den Abstand h zwischen beiden immer kleiner macht.
Gruß v. Angela
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Ne schon gut mein Fehler. Ichz habs jetzt kapiert. Dankeschön füpr die hilfe.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Die Ableitung für den 2. Funktionsast lautet [mm] $\left(x^2+x+1\right)' [/mm] \ = \ [mm] \red{2}*x+1$ [/mm] .
