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| Aufgabe | Sei K Körper, V ein 3-dim. K-Vektorraum, [mm] \{u,v,w\}=:B [/mm] Basis von V, und [mm] \alpha [/mm] der Endomorphismus von V mit [mm] \alpha(u)=v-u, \alpha(v)=w-v, \alpha(w)=u-w.
[/mm]
Bestimme eine Basis von [mm] Kern(\alpha) [/mm] und eine Basis von [mm] Bild(\alpha).
[/mm]
Entscheide ob [mm] \alpha [/mm] nilpotent, diagonalisierbar oder trianulierbar ist, wenn [mm] K=\IR, \IC [/mm] oder charK=3 ist. |
Hallo,
heute habe ich ganz ganz grundlegende Probleme, die ich auch mit schauen im Script vom letzten Semester, sowie Internetsuche nicht sicher lösen konnte.
und zwar möchte ich ich für [mm] \alpha [/mm] die darstellende Matrix (bzgl B) herausfinden.
Ich stehe da kurz vor der verzweiflung wieso ich das nicht hinbekomme! Kann mir das jemand nochmal zeigen?
das einzige, was ich bislang herausgefunden habe ist, dass [mm] \alpha((u+v+w))=0 [/mm] ist.
Oh, bitte nehmt mir mein Brett vom Kopf :)
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> Sei K Körper, V ein 3-dim. K-Vektorraum, [mm]\{u,v,w\}=:B[/mm]
> Basis von V, und [mm]\alpha[/mm] der Endomorphismus von V mit
> [mm]\alpha(u)=v-u, \alpha(v)=w-v, \alpha(w)=u-w.[/mm]
>
> Bestimme eine Basis von [mm]Kern(\alpha)[/mm] und eine Basis von
> [mm]Bild(\alpha).[/mm]
> Entscheide ob [mm]\alpha[/mm] nilpotent, diagonalisierbar oder
> trianulierbar ist, wenn [mm]K=\IR, \IC[/mm] oder charK=3 ist.
> Hallo,
> heute habe ich ganz ganz grundlegende Probleme, die ich
> auch mit schauen im Script vom letzten Semester, sowie
> Internetsuche nicht sicher lösen konnte.
>
> und zwar möchte ich ich für [mm]\alpha[/mm] die darstellende
> Matrix (bzgl B) herausfinden.
Hallo,
fangen wir also damit an.
Sprüchlein: "In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl. B stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B."
Los geht's:
Das Bild des ersten Basisvektors u ist [mm] \alpha(u)=-u+v= \vektor{-1\\1\\0}_{(B)}, [/mm] und dies ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Bestimme von dieser den kern - wir müssen das Ergebnis dann noch interpretieren.
> Ich stehe da kurz vor der verzweiflung wieso ich das nicht
> hinbekomme! Kann mir das jemand nochmal zeigen?
>
> das einzige, was ich bislang herausgefunden habe ist, dass
> [mm]\alpha((u+v+w))=0[/mm] ist.
Das stimmt.
Gruß v. Angela
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Hallo, und danke.
Als matrix bekomme ich dann heraus [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }.
[/mm]
Aber wenn ich nun [mm] \alpha(u) [/mm] = [mm] \alpha((u_{1},u_{2},u_{3})) =\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}} [/mm] bekomme ich ja nur irgendeinen quatsch heraus und schon gar nicht v-u?
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Hallo carlosfritz,
> Hallo, und danke.
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> Als matrix bekomme ich dann heraus [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wenn ich nun [mm]\alpha(u)[/mm] = [mm]\alpha((u_{1},u_{2},u_{3})) =\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}}[/mm]
> bekomme ich ja nur irgendeinen quatsch heraus und schon gar
> nicht v-u?
Wenn du [mm] $u=\vektor{u_1\\u_2\\u_3}$ [/mm] bezeichnest, werden die Koordinaten von [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}$ [/mm] von u abhängen, ich erhalte auf dei Schnelle [mm] $v=\vektor{u_3\\u_1\\u_2}$ [/mm] und [mm] $w=\vektor{u_2\\u_3\\u_1}$
[/mm]
Die Darstellungsmatrix bzg. der Basis [mm] $\{u,v,w\}$ [/mm] ist korrekt.
Bestimme nun ihren Kern, indem du sie in Zeilenstufenform bringst.
Es wird sich herausstellen, dass der Kern eindimensional ist, aufgespannt von ...
Damit ist das [mm] $\operatorname{Bild}(\alpha)$ [/mm] zweidimensional, aufgespannt von 2 linear unabh. Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
und auch dir vielen lieben Dank!
Okay, das mit den u und v habe ich nun, verstanden und die Zeilenstufenform herzustellen ist ja auch nicht sonderlich schwer.
Als Ergebnis ziehe ich nun heraus, dass alle [mm] a\in [/mm] V mit [mm] a_{1}=a_{2}=a_{3} [/mm] liegen. Somit sollte [mm] \{(1,1,1) \in V \} [/mm] eine Basis des Kerns sein.
Damit ist klar, dass die Basis des Bildes 2-Elemente hat.
Warum dies aber von 2 lin.-unabhängigen Spaltenvektoren aufgespannt wird ist mir nicht klar.
Ich dachte immer: [mm] \alpha [/mm] (Basis) ist wieder Basis, kann ja aber nicht sein, da es ja mit der Dimension dann nicht mehr stimmt, dann wohl immerhin Erzeugendensystem, oder?
Ich habe mir mal angeschaut, was mit der Basis passiert:
[mm] \alpha(u)=(u_{3}-u_{1} [/mm] , [mm] u_{1}-u_{2} [/mm] , [mm] u_{2}-u_{3})
[/mm]
[mm] \alpha(v)=(u_{2}-u_{3} [/mm] , [mm] u_{3}-u_{1} [/mm] , [mm] u_{1}-u_{2})
[/mm]
[mm] \alpha(w)=(u_{1}-u_{2} [/mm] , [mm] u_{2}-u_{3} [/mm] , [mm] u_{3}-u_{1})
[/mm]
Jetzt muss ich ja nur noch eine lineare abhängigkeit finden?
Edit:
[mm] \alpha(v)=-\alpha(u)+\alpha(w)
[/mm]
Okay, der Rest dann wohl erst nachm Fussball :)
Aber vielleicht ein Frage vorweg (ohne jetzt zu überlegen oder nachzuschauen, weil ich gleich los "muss")
[mm] \alpha^{2} [/mm] entspricht [mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }*\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 } [/mm] ???
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> Hallo,
> und auch dir vielen lieben Dank!
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> Okay, das mit den u und v habe ich nun, verstanden und die
> Zeilenstufenform herzustellen ist ja auch nicht sonderlich
> schwer.
> Als Ergebnis ziehe ich nun heraus, dass alle [mm]a\in[/mm] V mit
> [mm]a_{1}=a_{2}=a_{3}[/mm] liegen. Somit sollte [mm]\{(1,1,1) \in V \}[/mm]
> eine Basis des Kerns sein.
Hallo,
dem muß man jetzt aber noch etwas Leben einhauchen...
Es deute ja nichts daraufhin, daß [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ein Element von V ist...
Lösung: [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ist der Koordinatenvektor des Basisvektors des Kerns von [mm] \alpha.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{1\\1\\1}_{(B)}=1*u+1*v+1*w [/mm] , und damit hast Du die Basis des Basis des Kerns.
>
> Damit ist klar, dass die Basis des Bildes 2-Elemente hat.
> Warum dies aber von 2 lin.-unabhängigen Spaltenvektoren
> aufgespannt wird ist mir nicht klar.
>
> Ich dachte immer: [mm]\alpha[/mm] (Basis) ist wieder Basis,
Das ist der entscheidende Irrtum.
Wenn die Abbildung injektiv ist, wird die Basis auf eine Basis des Bildes abgebildet, i.a. aber lediglich auf ein Erzeugendensystem.
> kann ja
> aber nicht sein, da es ja mit der Dimension dann nicht mehr
> stimmt, dann wohl immerhin Erzeugendensystem, oder?
Ja.
>
> Ich habe mir mal angeschaut, was mit der Basis passiert:
> [mm]\alpha(u)=(u_{3}-u_{1}[/mm] , [mm]u_{1}-u_{2}[/mm] , [mm]u_{2}-u_{3})[/mm]
> [mm]\alpha(v)=(u_{2}-u_{3}[/mm] , [mm]u_{3}-u_{1}[/mm] , [mm]u_{1}-u_{2})[/mm]
> [mm]\alpha(w)=(u_{1}-u_{2}[/mm] , [mm]u_{2}-u_{3}[/mm] , [mm]u_{3}-u_{1})[/mm]
Das weißt Du bereits aus der Aufgabenstellung:
>>>> $ [mm] \alpha(u)=v-u, \alpha(v)=w-v, \alpha(w)=u-w. [/mm] $
> Jetzt muss ich ja nur noch eine lineare abhängigkeit
> finden?
Da Du weißt, daß die Dim des Bildes =2 ist, kannst Du jetzt nachschauen, ob Du unter den dreien zwei linear unabhängige findest.
Du kannst aber das Ergebnis natürlich auch aus der ZSF ablesen. Dieser entnimmt man, daß die erste und zweite Spalte der Darstellungsmatrix eine Basis des Bildes sind - Du müßtest jetzt die Koordinatenvektoren wieder übersetzen.
Gruß v. Angela
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> Aber vielleicht ein Frage vorweg (ohne jetzt zu überlegen
> oder nachzuschauen, weil ich gleich los "muss")
>
> [mm]\alpha^{2}[/mm] entspricht [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }*\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 }[/mm]
> ???
Hallo,
ja, das ist dann die Darstellungsmatrix v. [mm] \alpha^2 [/mm] bzgl der Basis B.
Gruß v. Angela
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