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| Aufgabe | Es sei C[1,8] der Vektorraum der auf dem Intervall [1,8] stetigen reelwertigen Funktionen mit der üblichen Addition von Funktionen (f+g)(x):=f(x)+g(x) und der üblichen Multiplikation mit Skalaren [mm] (\lambda*f)(x):=\lambda*f(x).
[/mm]
Und es sei V der wie folgt definierte Unterraum:
[mm] V:=\{f\in\IC[1,8]|f(x)=a*ln(x)+b*ln(2x)+c*ln(3x),a,b,c \in \IR\}
[/mm]
Wieso ist [mm] dim(V)\not=3 [/mm] ??? |
hallo !
frage steht ja oben.
erst mal zum verständnis, der aussage, mit der dimension ungleich 3 , heißt doch nichts weiter, als das diese 3 Funktionsbausteine oben nicht lin. unabhängig sind, oder ?! also muss man irgendwie zeigen, dass sich einer durch linear kombination der anderen darstellen lässt !?! ich weiß aber ehct keinen weg, da was rumzuzaubern, dass das klappt, vielleicht fällt euch spontan was ein .
(man muss doch lin. abhängigkeit für ALLE x,a,b,c zeigen , oder !?? )
danke
mfg peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Wie Du schon richtig vermutest, mußt Du zeigen, daß die Funktionen [mm] $\ln [/mm] x, [mm] \ln(2x)$ [/mm] und [mm] $\ln(3x)$ [/mm] nicht linear unabhängig sind.
Dazu beachte man, daß für $a>0$: [mm] $\ln(ax)=\ln a+\ln [/mm] x$ ist.
Vielleicht kommst Du damit ja weiter...
Gruß,
Christian
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ok, wenn ich das mache bekomme ich ja folgendes :
1 : a*ln(x) = a*ln(x)
2 : b*ln(2x) = b*ln(2)+b*ln(x)
3 : c*ln(3x) = c*ln(3)+c*ln(x)
kann man hierraus nicht schon "sehen" , dass z.B. 2. und 3. genau den gleichen raum abdecken, da sie doch letztlich beide von der Form N+N*ln(x) bzw. M+M*ln(x) mit N,M [mm] \in \IR [/mm] sind ??
(ich muss keinen sauberen beweis haben, ich brauch nur (für mich) ne (math. richtige  ) Überlegung, die mir die Aussage klarmachen soll)
mfg
peter
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Hallo!
> ok, wenn ich das mache bekomme ich ja folgendes :
>
>
> 1 : a*ln(x) = a*ln(x)
> 2 : b*ln(2x) = b*ln(2)+b*ln(x)
> 3 : c*ln(3x) = c*ln(3)+c*ln(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kann man hierraus nicht schon "sehen" , dass z.B. 2. und 3.
> genau den gleichen raum abdecken, da sie doch letztlich
> beide von der Form N+N*ln(x) bzw. M+M*ln(x) mit N,M [mm]\in \IR[/mm]
> sind ??
nicht unbedingt. Es kommt eben darauf an, ob es [mm] $a,b,c\in\IR$ [/mm] gibt mit [mm] $a\ln x+b\ln 2x+c\ln 3x=(a+b+c)\ln x+b\ln 2+c\ln [/mm] 3=0$ für alle [mm] $x\in[1,8]$, [/mm] sprich, ob das LGS [mm] $\begin{cases}a+b+c=0 \\ b\ln 2+ c\ln 3=0\end{cases}$ [/mm] eine nichttriviale Lösung hat, und in diesem Falle lautet die Antwort eben: ja, die hat es, nämlich z.B. [mm] $a=\frac{\ln 2}{\ln 3}-1, b=\frac{\ln 3}{\ln 2}, c=1+\frac{\ln 3}{\ln2}$. [/mm] (falls ich mich nicht vertan habe)
Gruß,
Christian
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