diophantische gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 Fr 11.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Löse die diophantische gleichung wie im Bsp.:
3x + 5y = 2
3x [mm] \equiv [/mm] 2 (5)
6x [mm] \equiv4 [/mm] (5)
[mm] x\equiv [/mm] 4 (5) => [mm] \exsts [/mm] t [mm] \in \IZ [/mm] : x=4 + 5t
3*(4+5t)+5y = 2 -> 12 + 15 t + 5y = 2 -> 5y=-10-15 t -> y = -2-3t
3*(4+5t) + 5*(-2-3t) = 12+15 t - 10 - 15 t =2
Aufgabe: 243 x + 198 y =9 |
243 x + 198 y =9
243 x [mm] \equiv [/mm] 9 (198)
nun ist mein problem, dass ich es nicht schaffe das vor dem x eine 1 steht
Habe schon jedliche Umformung versucht.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
LG
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Hallo sissile,
ist Dir schon aufgefallen, dass ggT(9,198,243)=9 ist?
Also kann man auch 27x+22y=1 betrachten, bzw. [mm] 27x\equiv 1\mod{22}.
[/mm]
x=9 ist eine Lösung, und wenn man nur Restklassen betrachtet, die einzige.
Du musst jetzt nur mal überlegen, wie man das findet, außer durch Ausprobieren.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 11.05.2012 | | Autor: | sissile |
Jap das ist mir aufgefallen. Hat mich aber nicht weitergebracht. Trotzdem steht vor dem x keine 1, wie im Bsp. (und erweiterter euklidische algorithmus, soll man hier nicht machen) Ich darf ja hier keine brüche draus machen.
$ [mm] 27x\equiv 1\mod{22}. [/mm] $
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Hallo sissile,
> Jap das ist mir aufgefallen. Hat mich aber nicht
> weitergebracht. Trotzdem steht vor dem x keine 1, wie im
> Bsp. (und erweiterter euklidische algorithmus, soll man
> hier nicht machen)
Schade. Aber es geht auch anders.
> Ich darf ja hier keine brüche draus
> machen.
Natürlich nicht.
> [mm]27x\equiv 1\mod{22}.[/mm]
22=2*11
Betrachte also die beiden Kongruenzen
(I) [mm] (27x\equiv)\ x\equiv 1\mod{2}\ \Rightarrow [/mm] x ist ungerade
(II) [mm] (27x\equiv)\ 5x\equiv 1\mod{11}
[/mm]
Um (II) zu lösen, braucht man das Inverse zu 5. Das ist leicht zu finden, siehe meinen letzten Beitrag. Genau so habe ich die Lösung gefunden.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Fr 11.05.2012 | | Autor: | sissile |
danke dir, lg
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