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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - direkte Summe
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direkte Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Fr 22.11.2013
Autor: chloe.liu

Aufgabe
Sei T: [mm] V\to [/mm] K linear. Sei u [mm] \in [/mm] V,u [mm] \not\in [/mm] ker(T). Zeige:
          [mm] V=ker(T)\oplus [/mm] Ku


Meine Idee ist,dass Ku ist das bild(T),dann kann ich die Dimensionsformel benutzen,und ker(T) [mm] \cap [/mm] bild(T) =0 betrachten.
stimmt das? Und muss ich noch zeigen warum Ku=Bild(T)ist,wenn ja, wie?
Ich freue mich auf ihren Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
direkte Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Fr 22.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Sei T: [mm]V\toK[/mm] linear. Sei u [mm]\in[/mm] V,u [mm]\not\in[/mm] ker(T). Zeige:
> [mm]V=ker(T)\oplus[/mm] Ku
> Meine Idee ist,dass Ku ist das bild(T)


Hallo,

[willkommenmr].

ist die Aufgabenstellung vollständig?
Wenn man zeigen soll, daß V die direkte Summe von Kern(T) und Ku ist, müßte man ja schon wissen, was Ku bedeuten soll.
Wird ja irgendwas mit u zu tun haben.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
direkte Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Fr 22.11.2013
Autor: chloe.liu

Leider ist das nicht definiert,Ku bedeutet K mal u,mehr hat den Tutor nicht gesagt,deshalb hab ich gedacht,dass Ku ein Bild ist.

Bezug
                        
Bezug
direkte Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Fr 22.11.2013
Autor: fred97


> Leider ist das nicht definiert,Ku bedeutet K mal u,mehr hat
> den Tutor nicht gesagt,deshalb hab ich gedacht,dass Ku ein
> Bild ist.

Hast Du das nicht gelesen

https://matheraum.de/read?i=992331

?

FRED


Bezug
        
Bezug
direkte Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Fr 22.11.2013
Autor: fred97


> Sei T: [mm]V\toK[/mm] linear

Aha, da steht T:V [mm] \to [/mm] K,

wobei ich annehme, dass V ein Vektorraum über dem Körper K ist.


> . Sei u [mm]\in[/mm] V,u [mm]\not\in[/mm] ker(T). Zeige:
>            [mm]V=ker(T)\oplus[/mm] Ku

Ku soll wohl bedeuten:

     [mm] Ku=\{\alpha*u: \alpha \in K \} [/mm]



>  Meine Idee ist,dass Ku ist das bild(T)

Das ist Unsinn, denn Ku [mm] \subseteq [/mm] V und Bild(T)=K

Warum ist Bild(T)=K ?

Darum: Bild(T) [mm] \subseteq [/mm] K und dimBild(T)=1= dim K

> ,dann kann ich die
> Dimensionsformel benutzen,

Das ginge nur, wenn V endlichdimensional wäre.






> und ker(T) [mm]\cap[/mm] bild(T) =0

Auch das ist Unsinn , siehe oben.


> betrachten.
>  stimmt das? Und muss ich noch zeigen warum
> Ku=Bild(T)ist,wenn ja, wie?

Siehe oben.


>  Ich freue mich auf ihren Antworten!
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Zeige zunächst: Kern(T) [mm] \cap Ku=\{0\} [/mm]

FRED


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Bezug
direkte Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Fr 22.11.2013
Autor: chloe.liu

Danke zuerst deiner Antwort. Aber ich bin jetzt total verwirrt,wie kann ich zeigen das Kern(T) [mm] \cap [/mm] Ku?

Bezug
                        
Bezug
direkte Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Fr 22.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Danke zuerst deiner Antwort. Aber ich bin jetzt total
> verwirrt,wie kann ich zeigen das Kern(T) [mm]\cap[/mm] Ku?

Hallo,

???
An [mm] Kern(T)\cap [/mm] Ku gibt's nix zu zeigen. Das ist doch einfach eine Menge.

Fred riet Dir zu zeigen, daß [mm] Kern(T)\cap [/mm] Ku [mm] =\{0\}. [/mm]

Sei dazu [mm] v\in Kern(T)\cap [/mm] Ku.

==> [mm] v\in [/mm] ... und [mm] v\in [/mm] ...

==> ...  und ...

==> ... ... ... ... ... ... ... ==> v=0.

Mach mal!

LG Angela

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Bezug
direkte Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Fr 22.11.2013
Autor: chloe.liu

Ich habe jetzt so gezeigt:
Sei v [mm] \in [/mm] ker(T) und v [mm] \in [/mm] Ku
[mm] \Rightarrow [/mm] ker(T) = T^-1(0)={v [mm] \in [/mm] V; T(v)=0} und T(a*v)=a*T(v) = a0=0
[mm] \Rightarrow [/mm] v=0

Ich hoffe ich hab richtig gemacht!
Wenn ja,muss ich dann V=ker(T) + Ku zeigen,oder? Ich glaub Ker(T)={0},aber warum Ku=V hab ich wieder keine Idee.

Bezug
                                        
Bezug
direkte Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Fr 22.11.2013
Autor: fred97


> Ich habe jetzt so gezeigt:
>  Sei v [mm]\in[/mm] ker(T) und v [mm]\in[/mm] Ku
>  [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ker(T) = T^-1(0)={v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V; T(v)=0} und

> T(a*v)=a*T(v) = a0=0
>  [mm]\Rightarrow[/mm] v=0
>  
> Ich hoffe ich hab richtig gemacht!

Nein.

Ist v [mm] \in [/mm] kern(T) und v [mm] \in [/mm] Ku, so gilt:

   T(v)=0 und v= [mm] \alpha*u [/mm] mit einem [mm] \alpha \in [/mm] K.

Dann ist [mm] 0=T(v)=\alpha*T(u). [/mm]

Da u [mm] \notin [/mm] kern(T), haben wir T(u) [mm] \ne [/mm] 0, also [mm] \alpha=0. [/mm] Damit ist v=0.


>  Wenn ja,muss ich dann V=ker(T) + Ku zeigen,oder?

Ja, das ist noch zu zeigen.

> Ich glaub
> Ker(T)={0},

Das ist Unfug !

> aber warum Ku=V hab ich wieder keine Idee.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
direkte Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Fr 22.11.2013
Autor: chloe.liu

Um V=ker(T)+Ku zu zeigen,hab ich so gemacht:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] v [mm] \in [/mm] V und v [mm] \not\in [/mm] ker(T),folgt Tv [mm] \not= [/mm] 0
  da u [mm] \in [/mm] V und u [mm] \not\in [/mm] ker(T),ist Tu [mm] \not=0 [/mm]
Sei [mm] \lambda \in [/mm] K und [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] Ku,
und weil Tv= [mm] \lambda [/mm] Tu,daraus folgt [mm] Tv-\lambda [/mm] (Tu)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] T(v- [mm] \lambda [/mm] u)=0
deshalb [mm] v-\lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] ker(T)
            [mm] \Rightarrow [/mm] v [mm] \in [/mm] ker(T)+ [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] ker(T) +Ku
[mm] "\Leftarrow" [/mm] zeige ker(T)+Ku [mm] \in [/mm] V
  Ker(T) [mm] \in [/mm] V ist  klar.
   da  u [mm] \in [/mm] V, dann [mm] \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] Ku [mm] \in [/mm] V
  deshalb ker(T)+Ku [mm] \in [/mm] V

Stimmt das?

Bezug
                                                        
Bezug
direkte Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Fr 22.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Um V=ker(T)+Ku zu zeigen,hab ich so gemacht:
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] v [mm]\in[/mm] V und v [mm]\not\in[/mm] ker(T),folgt Tv [mm]\not=[/mm]
> 0
> da u [mm]\in[/mm] V und u [mm]\not\in[/mm] ker(T),ist Tu [mm]\not=0[/mm]
> Sei [mm]\lambda \in[/mm] K und [mm]\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] Ku,
> und weil Tv= [mm]\lambda[/mm] Tu,

Hallo,

so, wie Du es hier schreibst, ist nicht zwingend [mm] Tv=\lambda [/mm] Tu, denn Du sagst ja gar nicht, wie das [mm] \lambda [/mm] gemacht ist.

Aber Deine Idee geht schon völlig in die richtige Richtung.
Mithilfe der Funktionswerte von u und v kannst Du Dir ein passendes Element [mm] \lambda [/mm] aus Ku basteln, so daß alles schön funktioniert.
Überlege Dir dazu, welches Vielfache von u denselben Funktionswert hat wie v.

LG Angela





daraus folgt [mm]Tv-\lambda[/mm] (Tu)=0

> [mm]\Rightarrow[/mm] T(v- [mm]\lambda[/mm] u)=0
> deshalb [mm]v-\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] ker(T)
> [mm]\Rightarrow[/mm] v [mm]\in[/mm] ker(T)+ [mm]\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] ker(T)
> +Ku
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] zeige ker(T)+Ku [mm]\in[/mm] V
> Ker(T) [mm]\in[/mm] V ist klar.
> da u [mm]\in[/mm] V, dann [mm]\lambda[/mm] u [mm]\in[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] Ku [mm]\in[/mm] V
> deshalb ker(T)+Ku [mm]\in[/mm] V

>

> Stimmt das?


Bezug
                                        
Bezug
direkte Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Fr 22.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Wenn ja,muss ich dann V=ker(T) + Ku zeigen,oder? Ich glaub
> Ker(T)={0}

Hallo,

der Glaube hilft hier nicht weiter.

Wenn Du V=ker(T) + Ku zeigen möchtest, mußt Du ja zeigen

[mm] V\subseteq [/mm] ker(T) + Ku
und
ker(T) + [mm] Ku\subseteq [/mm] V.

Daß die zweite Aussage  gilt, ist klar.

Zeigen wir also [mm] V\subseteq [/mm] ker(T) + Ku:

sei [mm] v\in [/mm] V.

Es gibt nun zwei Möglichkeiten.

a) [mm] v\in [/mm] Kern(T)
==> [mm] v\in [/mm] Kern(T)+Ku  und wir können uns freuen.

b) [mm] v\not\in [/mm] Kern(T). Dann ist T(v)=k mit [mm] k\not=0. [/mm]
Wegen ... ist T(u)=k' mit [mm] k'\not=0. [/mm]

So, und nun versuche Dir mal v= ...+... so zurechtzubasteln, daß der erste Vektor im Kern ist und der zweite ein Vielfaches von u.

LG Angela
 

Bezug
                                                
Bezug
direkte Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Fr 22.11.2013
Autor: chloe.liu

https://matheraum.de/read?i=992349
Hier habe ich gezeigt,aber ich bin nicht sicher ob die richtig ist.

Bezug
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