disjunkt+mengen+transitiv < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 So 12.12.2004 | | Autor: | mimi94 |
Ich hab es versucht allein zu lösen, aber ich hab keine ahnung und muß es morgen abgeben.
so hab ich jetzt genervt aufgeben.
vielleicht ist ja grad jemnad online, der mir vielleicht wenigstens einen ansatz gibt.
(a) Gib eine nichtleere Menge M von Mengen an, so daß für alle m, m'element M folgendes gilt:
∩ M = [mm] \emptyset, [/mm] aber m ∩ m' [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(b) Wieviele Elemente muß M mindestens enthalten? Beweis!
Beim ersten hab ich keine ahnung, weil ich finde es müßte eigentlich beides
[mm] \not= [/mm] oder keins von beiden diese lsg.
Ich hab mir schon überlegt, dass b) zum teil geht durch einen indirekten beweis, da der 2.te teil ja das gegenteil von disjunkt ist
und dann noch
Eine Menge A von Mengen heißt transitiv, falls
a elemnt A [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \subseteq [/mm] A.
(a) Zeige, daß A genau dann transitiv ist, wenn [mm] \cup [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A.
Wäre toll, wenn sich jemand meldet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Ich hab es versucht allein zu lösen, aber ich hab keine
> ahnung und muß es morgen abgeben.
Morgen - also quasi heute? Ich kann dir leider nicht viel helfen, aber vielleicht hilft dir das bisschen ja schon etwas. 
> (a) Gib eine nichtleere Menge M von Mengen an, so daß für
> alle m, m'element M folgendes gilt:
> ∩ M = [mm]\emptyset,[/mm] aber m ∩ m' [mm]\not= \emptyset
[/mm]
Zuerst hat mich das ganz schön verwirrt, aber dann habe ich festgestellt, dass es ja eine Menge von Mengen sein soll. Also, was wäre z. B. mit M={{1,2},{2,3},{1,3}}. Dann wäre doch [mm] \bigcap_{i=1}^{3}M=\emptyset, [/mm] aber [mm] \{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}, \{1,2\}\cap\{1,3\}=\{1\} [/mm] und [mm] \{2,3\}\cap\{1,3\}=\{3\} [/mm] also genau, was du suchst, oder? 
> (b) Wieviele Elemente muß M mindestens enthalten? Beweis!
>
> Beim ersten hab ich keine ahnung, weil ich finde es müßte
> eigentlich beides
> [mm]\not=[/mm] oder keins von beiden diese lsg.
> Ich hab mir schon überlegt, dass b) zum teil geht durch
> einen indirekten beweis, da der 2.te teil ja das gegenteil
> von disjunkt ist
Mmh, erhlich gesagt, weiß ich das auch nicht, vielleicht klappt es mit einem indirekten Beweis. Ich würde so spontan mal sagen, dass es mindestens drei Mengen sein müssen, weil ja sonst [mm] \bigcap M=m\cap [/mm] m' oder? Aber das ist wohl kein Beweis...
> und dann noch
> Eine Menge A von Mengen heißt transitiv, falls
> a elemnt A [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\subseteq[/mm] A.
> (a) Zeige, daß A genau dann transitiv ist, wenn [mm]\cup[/mm] A
> [mm]\subseteq[/mm] A.
Mmh, hier weiß ich leider auch nicht weiter, aber du musst ja auf jeden Fall zwei Richtungen zeigen, also [mm] \Rightarrow [/mm] und [mm] \Leftarrow. [/mm] Ich würde es versuchen, wie diese "Standardbeweise" von Vereinigungen und Schnittmengen und so, also du nimmst dir ein Element aus dem linken Teil und folgerst daraus, dass es auch im rechten Teil liegen muss, falls du verstehst, was ich meine.
Sorry, falls ich dir nicht allzu viel helfen konnte, ich gehe jetzt auch bald in s Bett. Aber wenn du demnächst mal etwas früher mit Fragen kommst, hast du gute Chancen, dass wir dir helfen.
Viele Grüße und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:30 Mo 13.12.2004 | | Autor: | mimi94 |
danke jede hilfe auch wenn sie noch so klein ist
ich hab die frage auch erst so spät eingestellt, weil ich hoffte sie allein hinzukriegen. erst als ich vollständig verzweifelt war, versuchte ich es hier.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:49 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mimi94,
> (a) Gib eine nichtleere Menge M von Mengen an, so daß für
> alle m, m'element M folgendes gilt:
> ∩ M = [mm]\emptyset,[/mm] aber m ∩ m' [mm]\not= \emptyset
[/mm]
Damit die Aufgabe Sinn macht, müßte man doch fordern: [mm] $m\not=m'$. [/mm] Für diesen Fall ist Christianes Beispiel dann eine Lösung.
> (b) Wieviele Elemente muß M mindestens enthalten? Beweis!
Du kannst ja durchprobieren:
|M|=0: Nach Voraussetzung nicht möglich
|M|=1: Dann wäre die Bedingung [mm] $\bigcap m=\emptyset$ [/mm] nicht erfüllbar
|M|=2: Dann kommt es zum Widerspruch: [mm] $\bigcap m=m_1\cap m_1=\emptyset$ [/mm] und [mm] $m_1\cap m_1\not=\emptyset$.
[/mm]
|M|=3: Siehe Beispiel (a)
> Beim ersten hab ich keine ahnung, weil ich finde es müßte
> eigentlich beides
> [mm]\not=[/mm] oder keins von beiden diese lsg.
> Ich hab mir schon überlegt, dass b) zum teil geht durch
> einen indirekten beweis, da der 2.te teil ja das gegenteil
> von disjunkt ist
>
> und dann noch
> Eine Menge A von Mengen heißt transitiv, falls
> a elemnt A [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\subseteq[/mm] A.
Ist diese Definition richtig?
Kann ein Element einer Menge gleichzeitig eine Teilmenge dieser Menge sein?
Es gibt also (nach dieser Definition) keine transitiven Mengen.
Ich fürchte, ich habe hier etwas nicht richtig verstanden oder die Definition ist falsch wiedergegeben.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:16 Mo 13.12.2004 | | Autor: | mimi94 |
ich habe es haargenau so in der aufgabenstellung rausgeschrieben.
ich fand dies auch komisch, aber da ist ja ein "daraus folgt"-pfeil, so wird a vielleicht dadurch, dass es element von A ist zu einer teilmenge
naja aber m prinzip müsse man doch bloß a= [mm] \cupA [/mm] setzen oder? weil doch nach aufgabenstellung beide für transitivität teilmenge von A sein sollen.
aber wie dann weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo mimi!
> Eine Menge A von Mengen heißt transitiv, falls
> a elemnt A [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\subseteq[/mm] A.
> (a) Zeige, daß A genau dann transitiv ist, wenn [mm]\cup[/mm] A
> [mm]\subseteq[/mm] A.
Die Aufgabe besteht darin richtig in die Definitionen einzusetzen. Hier hättest du wenigstens mal einen Ansatz anbieten können, aber ich verrate dir trotzdem die Lösung.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Für $x [mm] \in \bigcup [/mm] A$ gibt es ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $x [mm] \in [/mm] a$. Da $A$ transitiv ist, folgt $a [mm] \subseteq [/mm] A$ und daher $x [mm] \in [/mm] a [mm] \subseteq [/mm] A$, also: $x [mm] \in [/mm] A$.
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Es sei $a [mm] \in [/mm] A$. Für ein beliebiges $x [mm] \in [/mm] a$ gilt nach Definition von [mm] $\bigcup [/mm] A$ und $a [mm] \in [/mm] A$ gerade: $x [mm] \in \bigcup [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A$. Damit haben wir $a [mm] \subseteq [/mm] A$ gezeigt, d.h. $A$ ist transitiv.
Viele Grüße
Stefan
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