diskrete Metrik, Maximumsnorm < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Reaper |
Ein paar kleinere Fragen:
Die diskrete Metrik wird nicht durch eine Norm erzeugt. Wenn jetzt gefragt ist warum das so ist was soll man da antworten? Überprüft man da die 3 Normeigenschaften bis man auf einen Widerspruch trifft oder gibts bei der Frage keine Antwort.
Warum ist bei der Maximumsnorm in [mm] \IR^{2} [/mm] die Einheitskugel eckig?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 15.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Die diskrete Metrik wird nicht durch eine Norm erzeugt.
> Wenn jetzt gefragt ist warum das so ist was soll man da
> antworten? Überprüft man da die 3 Normeigenschaften bis man
> auf einen Widerspruch trifft oder gibts bei der Frage keine
> Antwort.
So ähnlich. angenonmen sie würde von einer Norm induziert, dann gälte zB [m]||a*x-a*y||=|a|*||x-y||[/m]. Wo kann man hier einen Widerspruch finden?
> Warum ist bei der Maximumsnorm in [mm]\IR^{2}[/mm] die Einheitskugel
> eckig?
Warum ist die Banane krumm? Weil sie krumm gewachsen ist ... Eher im Ernst: das liegt halt quasi an der Definition der Maximumsnorm.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Do 16.02.2006 | | Autor: | Reaper |
So ähnlich. angenonmen sie würde von einer Norm induziert, dann gälte zB$ [mm] ||a\cdot{}x-a\cdot{}y||=|a|\cdot{}||x-y|| [/mm] $ . Wo kann man hier einen Widerspruch finden?
Keine Ahnung, wahrscheinlich weil man das a nicht rausheben kann aber konkret weiß ich nicht warum das nicht gehen soll.
Warum ist die Banane krumm? Weil sie krumm gewachsen ist ... Eher im Ernst: das liegt halt quasi an der Definition der Maximumsnorm.
Nun gut.....die Maximumsnorm ist ja so definiert: [mm] ||x||_{ \infty} [/mm] := max [mm] |x_{i} [/mm] | (1<=i<=n)
[mm] x_{i} [/mm] verdeutlicht nun die einzelne Komponente im Vektor. Angenommen ich wäre im [mm] \IR^{2} [/mm] und hab folgende Punkte gegeben:
(1,3) ; (2,4) ; (5,7) ,...usw.
Die Maximumsnormist hier 3,4,7,...wo ist hier ein Quadrat erkennbar....ich werd nicht schlau draus....
mfg,
Hannes
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Hallo und guten Tag,
schreib Dir doch mal die Definition der diskreten Metrik hin:
d(x,y) = [mm] \begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x\neq y\end{cases}
[/mm]
Nochmal ganz ausfuehrlich das von Eckhard gebrachte Argument:
Gaebe es eine solche Norm, dann gälte doch
[mm] \parallel x-y\parallel \: =\: d(x,y)\:\:\in\{0,1\}
[/mm]
fuer alle x,y, aber die Norm-Eigenschaft, mit skalarer Mult. vertraeglich zu sein, macht einem gerade
da einen Strich durch die Rechnung.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 16.02.2006 | | Autor: | Reaper |
Ok...N2 sagt ja:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \forall \lambda \in \IR [/mm] : || [mm] \lambda*x|| [/mm] = | [mm] \lambda|*||x||
[/mm]
Angenommen mein x = 8 und mein y = 3
d(8,3) = || 8 - 3 || = || 5 ||
[mm] \lambda [/mm] = 2
|| 2*5|| = | 2|*||5||
1 = 2 ...Widerspruch....stimmts so?
Und das mit der eckigen Kugel ist mir immer noch nicht klar....
mfg,
Hannes
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Hallo nochmal,
zunaechst eine Frage: Ist es richtig, dass hier unter der diskreten Metrik die Metrik
d(x,y) [mm] =\begin{cases} 0, & x=y\\ 1, x\neq y\end{cases}
[/mm]
verstanden wird ?
Wenn ja, so verstehe ich nicht, wie jetzt die Dinge so vermischt werden.
Du moechtest zeigen, dass KEINE Norm [mm] \parallel\:\cdot\:\parallel [/mm] die Eigenschaft
[mm] \parallel x-y\parallel [/mm] = d(x,y)
hat. Sei also [mm] \parallel\:\cdot\:\parallel [/mm] eine beliebige Norm. Nehmen wir an, es waere doch so, dass
[mm] \parallel\:\cdot\:\parallel [/mm] die Metrik erzeugt, dann folgt aber aus Deinem N2 ein Widerspruch zu der tatsache, dass
d nur Werte 0 und 1 annimmt (siehe die vorherigen Antworten).
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 16.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen mein x = 8 und mein y = 3
Ich möchte zur anderen Antwort noch ergänzen, dass diese Setzungen natürlich höherer Unfug sind, denn Zahlen gibt es erstmal in einem Vektorraum nicht ...
> d(8,3) = || 8 - 3 || = || 5 ||
>
> [mm]\lambda[/mm] = 2
>
> || 2*5|| = | 2|*||5||
> 1 = 2 ...Widerspruch....stimmts so?
Also so wie es da steht, nicht; du musst schon präziser folgern.
> Und das mit der eckigen Kugel ist mir immer noch nicht
> klar....
Und was genau? Da verstehe ich echt dien Problem nicht: die Einheistkugel bzgl. Maximumsnorm ist halt der besagte Würfel.
SEcki
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