diskrete teilmenge, Weierstraß < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:42 Di 26.06.2012 | | Autor: | drossel |
Hi,
eine kurze Frage: [mm] {a_n} [/mm] sei eine diskrete Teilmenge komplexer Zahlen in [mm] \IC, [/mm] d.h. nach Weierstraß gibt es eine holomorphe Funktion [mm] f:\IC->\IC [/mm] s.d. [mm] f(a_n)=0 [/mm] und meine Frage ist, wieso kann die Vielfachheit der Nullstelle nur 1 sein? Ich denke , dass es nur daran liegen kann, dass die Teilmenge diskret ist oder? Ich hab zwar nachgeschaut, was das bedeutet, aber mir ist nicht wirklich klar, wieso das mit der Vielfachheit so ist. Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand auf die Sprünge hilft.
L.g.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> eine kurze Frage: [mm]{a_n}[/mm] sei eine diskrete Teilmenge
> komplexer Zahlen in [mm]\IC,[/mm] d.h. nach Weierstraß gibt es eine
> holomorphe Funktion [mm]f:\IC->\IC[/mm] s.d. [mm]f(a_n)=0[/mm] und meine
> Frage ist, wieso kann die Vielfachheit der Nullstelle nur 1
> sein?
Wer sagt das ??
Den Weierstraßschen Satz kannst Du auf 2 Arten formulieren:
Sei also [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IC [/mm] ohne Häufungspunkte in [mm] \IC.
[/mm]
1. Formulierung:
Es gibt eine ganze Funktion f mit Nullstellen genau in den Punkten [mm] a_n [/mm] und kommt [mm] z_0 [/mm] in der Folge [mm] (a_n) [/mm] genau m mal vor, so hat f in [mm] z_0 [/mm] eine m-fache Nullstelle.
2. Formulierung: Gilt [mm] a_n \ne a_m [/mm] für n [mm] \ne [/mm] m und ist [mm] (m_j) [/mm] eine Folge in [mm] \IN, [/mm] so gibt es eine ganze Funktion f, die genau in den Punkten [mm] a_j [/mm] Nullstellen hat; weiter hat f in [mm] a_j [/mm] eine Nullstelle der Vielfachheit [mm] m_j.
[/mm]
FRED
> Ich denke , dass es nur daran liegen kann, dass die
> Teilmenge diskret ist oder? Ich hab zwar nachgeschaut, was
> das bedeutet, aber mir ist nicht wirklich klar, wieso das
> mit der Vielfachheit so ist. Ich würde mich freuen, wenn
> mir da jemand auf die Sprünge hilft.
> L.g.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 26.06.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo fred97,
genau so vor allem in der 1.Formulierung ist mir der Satz bekannt.Also es geht eigendlich um folgende Aufgabe:
Sei [mm] {a_n} [/mm] in [mm] \IC [/mm] eine diskrete Teilmenge komplexer Zahlen, [mm] (b_n) [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \IC. [/mm] Zu zg. ist, dass es eine holomorphe Funktion f auf [mm] \IC [/mm] mit [mm] f(a_n)=b_n [/mm] gibt
Unser Tutor hat uns den Hinweis mit der Ordnung 1 gegeben , was ich nicht verstehe (erklären wollte er uns das nicht, sonst meinte er, würden wir die Aufgabe nicht selbst lösen)
Ich dachte mir dann Folgendes, was dann aber drauf aufbauen würde (ist vielleicht alles noch nicht so wie es sein soll, aber ungefähr und entschuldigung, wenn es noch alles nicht so dolle ist, auch wenn es komplexe Analysis ist aber bin erst im Grundstudium , gebe mir aber Mühe ):
Es gibt nach Weierstraß eine auf [mm] \IC [/mm] holomorphe Funktion t mit [mm] t(a_j)=0, j\in \IN, [/mm] wobei alle Nullstellen die Ordnung 1 haben, d.h. [mm] t'(a_j)\not=0.
[/mm]
Setze dann [mm] p=\frac{f}{t}, [/mm] f zumindest holomorph auf [mm] \IC\backslash\{a_j\}, [/mm] p ist eine meromorphe Funktion mit Polen 1. Ordnung bei [mm] a_j. [/mm] Die Hauptteile von p haben die Gestalt [mm] \frac{Res_{z=a_j}(p)}{z-a_j}
[/mm]
wobei [mm] Res_{z=a_j}p(z)=Res_{z=a_j}\frac{f(z)}{t(z)}=\frac{f(a_j)}{t'(a_j)}=\frac{b_j}{t'(a_j)} [/mm] da der Nenner bei den [mm] a_j [/mm] jeweils eine einfache Nullstelle hat
also [mm] \frac{Res_{z=a_j}(p)}{z-a_j}=\frac{b_j}{t'(a_j)}\frac{1}{z-a_j}.
[/mm]
Außerdem: Wenn p Pol 1.Ordnung in [mm] a_j [/mm] hat, dann hat [mm] (z-a_j)p(z) [/mm] eine hebbare Singularität
Dann kommt zumindest rechnerisch raus [mm] (-t(a_j) [/mm] ist ja =0):
[mm] f(a_j)=lim_{z \rightarrow a_j}p(z)t(z)=lim_{z\rightarrow a_j}[\frac{z-a_j}{z-a_j}p(z)t(z)-t(a_j)]=lim_{z\rightarrow a_j}[\frac{t(z)-t(a_j)}{z-a_j}(z-a_j)p(z)]=t'(a_j)\frac{b_j}{t'(a_j)}=b_j [/mm] .
Aber ohne dem, dass die Vielfachheit der Nullstelle 1 ist, klappt das so garnicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Di 26.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo fred97,
> genau so vor allem in der 1.Formulierung ist mir der Satz
> bekannt.Also es geht eigendlich um folgende Aufgabe:
>
> Sei [mm]{a_n}[/mm] in [mm]\IC[/mm] eine diskrete Teilmenge komplexer Zahlen,
> [mm](b_n)[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\IC.[/mm] Zu zg. ist, dass es eine
> holomorphe Funktion f auf [mm]\IC[/mm] mit [mm]f(a_n)=b_n[/mm] gibt
>
> Unser Tutor hat uns den Hinweis mit der Ordnung 1 gegeben ,
> was ich nicht verstehe (erklären wollte er uns das nicht,
> sonst meinte er, würden wir die Aufgabe nicht selbst
> lösen)
Ein Tipp: wenn es [mm] $a_j=a_k$ [/mm] mit [mm] $j\not=k$ [/mm] gibt, so muss nach Aufgabenstellung auch [mm] $b_j=b_k$ [/mm] sein. Du kannst also alle mehrfachen Werte weglassen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:41 Mi 27.06.2012 | | Autor: | drossel |
achso, oh man^^ das dachte ich erst auch, bin manchmal ziemlich dusselig.
danke euch beiden.
aber nach dem wie unser Tutor das gesagt hatte, dachte ich, der Grund müsste woanders liegen.
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