diskretheit, topol. gruppe < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mi 25.01.2012 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei $G$ eine topologische Gruppe (d.h. $G$ ist mit einer Topologie versehen, sodass Gruppenmultiplikaton und Inversion stetig sind). Seien [mm] $S,T\in [/mm] G$, so gilt:
$<T>$ ist diskret in [mm] $G\Leftrightarrow $ [/mm] diskret in $G$ ist. |
1) gilt das überhaupt?
2) muss $G$ dazu topologische gruppen sein oder reich schon gruppe zu sein?
3) Wie beweise ich das?
mein ansatz wäre:
sei $<T>$ diskret
[mm] $\Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] V: <T> [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{T^n\}$.
[/mm]
außerdem ist klar, dass gilt: [mm] $=S\circ \circ S^{-1}$.
[/mm]
aber wie gehts weiter? kann ich einfach $V$ mit $S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] abbilden und bekomme dann die behauptung? falls ja, wie schreib ich dass dann auf?
vielen dank für antworten
lg clee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Do 26.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]G[/mm] eine topologische Gruppe (d.h. [mm]G[/mm] ist mit einer
> Topologie versehen, sodass Gruppenmultiplikaton und
> Inversion stetig sind). Seien [mm]S,T\in G[/mm], so gilt:
>
> [mm][/mm] ist diskret in [mm]G\Leftrightarrow [/mm]
> diskret in [mm]G[/mm] ist.
> 1) gilt das überhaupt?
Ja, s.u.
>
> 2) muss [mm]G[/mm] dazu topologische gruppen sein oder reich schon
> gruppe zu sein?
Nein, denn Diskretheit ist ein topologischer Begriff.
>
> 3) Wie beweise ich das?
>
> mein ansatz wäre:
> sei [mm][/mm] diskret
> [mm]\Rightarrow \forall n \exists V: \cap V = \{T^n\}[/mm].
>
> außerdem ist klar, dass gilt: [mm]=S\circ \circ S^{-1}[/mm].
>
> aber wie gehts weiter? kann ich einfach [mm]V[/mm] mit [mm]S[/mm] und [mm]S^{-1}[/mm]
> abbilden und bekomme dann die behauptung? falls ja, wie
> schreib ich dass dann auf?
Ja, schreibe [mm] $SVS^{-1}(= \{SHS^{-1}|H\in G\})$.
[/mm]
>
> vielen dank für antworten
>
> lg clee
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