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| Aufgabe | | Bilde die distributionellen Ableitungen von sin(|x|) |
Also für die erste Ableitung erhalte ich:
(sin(|x|)'=sign(x)*cos(x)
das problem ist jetzt die zweite Ableitung:
[mm] <(sign(x)*cos(x))',\phi>=-\integral_{0}^{\infty}{cos(x)\phi' dx}+\integral_{-\infty}^{0}{cos(x)\phi' dx}
[/mm]
wenn ich das nun partiell integriere fallen die ersten beiden Terme nicht weg:
[mm] 2*\phi(0)-\integral_{-\infty}^{\infty}{sign(x)*sin(x)\phi dx}
[/mm]
wie kann ich das problem lösen oder habe ich einen Rechenfehler gemacht?!
DANKE!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bilde die distributionellen Ableitungen von sin(|x|)
> Also für die erste Ableitung erhalte ich:
> (sin(|x|)'=sign(x)*cos(x)
>
> das problem ist jetzt die zweite Ableitung:
>
> [mm]<(sign(x)*cos(x))',\phi>=-\integral_{0}^{\infty}{cos(x)\phi' dx}+\integral_{-\infty}^{0}{cos(x)\phi' dx}[/mm]
>
> wenn ich das nun partiell integriere fallen die ersten
> beiden Terme nicht weg:
> [mm]2*\phi(0)-\integral_{-\infty}^{\infty}{sign(x)*sin(x)\phi dx}[/mm]
>
> wie kann ich das problem lösen oder habe ich einen
> Rechenfehler gemacht?!
Die 2. Ableitung ist keine reguläre Distribution und kann daher nicht als Integral geschrieben werden.
Tipp: Du kannst die Signumfunktion durch die Heaviside-Funktion ausdrücken. Welche wohlbekannte Distribution g hat die Eigenschaft [mm] $ [/mm] = [mm] 2\phi(0)$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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das heißt die zweite ableitung ist:
[mm] 2*\delta(0)-sign(x)*sin(x) [/mm] ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Fr 26.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> das heißt die zweite ableitung ist:
>
> [mm]2*\delta(0)-sign(x)*sin(x)[/mm] ?!
[mm] $\delta(0)$ [/mm] ergibt doch keinen Sinn:
[mm] 2*\delta(x)\cos (x)-\mathop{\mathrm{sign}}(x)*\sin(x) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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sorry meinte natürlich [mm] 2*\delta(x)
[/mm]
würde das nicht auch gehen?! da der cos(0)=1. da macht es keinen unterschied ob ich [mm] 2*\delta(x) [/mm] oder [mm] 2*\delta(x)*cos(x) [/mm] nehme oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sorry meinte natürlich [mm]2*\delta(x)[/mm]
>
> würde das nicht auch gehen?! da der cos(0)=1. da macht es
> keinen unterschied ob ich [mm]2*\delta(x)[/mm] oder
> [mm]2*\delta(x)*cos(x)[/mm] nehme oder?
Nein, das macht keinen Unterscheid, das Ergebnis der Anwendung ist das gleiche. Aber nur, weil es hier [mm] $\delta$ [/mm] ist, und die nur den Punkt 0 in ihrem Träger hat.
Viele Grüße
Rainer
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ok aber wenn es keinen unterschied macht was is dann richtig?!
ich soll danach die dritte Ableitung berechnen und da macht es doch dann einen unterschied?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 28.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok aber wenn es keinen unterschied macht was is dann
> richtig?!
Ich meine, dass du bei der Anwendung der Delta-Distribution auf eine Testfunktion einfach [mm] $\cos [/mm] 0=1$ nehmen darfst, wegen der besonderen Eigenschaft von [mm] $\delta$.
[/mm]
> ich soll danach die dritte Ableitung berechnen und da
> macht es doch dann einen unterschied?!
EDIT:
Bei der dritten Ableitung kommen nur zusätzliche Terme der Form [mm] $\delta(x) \sin [/mm] x$ vor, und die ergeben bei Anwendung auf eine Testfunktion 0.
Aber: wenn du höhere Ableitungen betrachtest, macht es irgendwann schon einen Unterschied. Zum Beispiel ergibt
[mm] \delta'(x) \sin x[/mm]
bei Anwendung auf eine Testfunktion nicht 0.
Viele Grüße
Rainer
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