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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Di 19.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion x-> [mm] \bruch{3x²-4x+6}{x}
[/mm]
(i) Geben Sie den Definitionsbereich an. Für welche x ist die Fkt.stetig?
(ii) Wo ist die Fkt. differenzierbar?
(iii) Wie lauten die Extremstellen?
(iv) Zeigen Sie,dass es keine Wendepunkte gibt.
(v) Auf welchen Intervallen ist die Fkt. monoton steigend?
(vi) Auf welchen Intervallen ist sie konvex? |
Meine Lösungen:
Aufg.1
(i) Definitionsbereich: [mm] \IR [/mm] ohne 0
Hier ist die Funktion ebenfalls stetig.
(ii) 1.Ableitung ergibt: [mm] \bruch{3x²-6}{x²}
[/mm]
Die Funktion ist auf ihrem Def.bereich auch differenzierbar, also wie in (i)
(iii) x1= [mm] \wurzel{2}, [/mm] x2= [mm] -\wurzel{2}
[/mm]
Durch einsetzen in f''(x) sieht man, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] lokales Minimum ist,
[mm] -\wurzel{2} [/mm] hingegen lokales Maximum ist.
(iv) Bei der 2.Ableitung erhält man [mm] \bruch{12x}{x^{4}}. [/mm] Die Gleichung wäre nur für x=0 erfüllt, allerdings ist hier die Funktion nicht definiert => WP kann hier nicht existieren und einen anderen gibt es nicht.
(v) monoton steigend auf [mm] (-\infty,-\wurzel{2}] [/mm] und [mm] [\wurzel{2},\infty)
[/mm]
(vi) konvex auf [mm] (0,\infty)
[/mm]
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> (i) Definitionsbereich: [mm]\IR[/mm] ohne 0
Richtig.
> Hier ist die Funktion ebenfalls stetig.
Naja, die Funktion ist an der Stelle nicht definiert; da gibt es die Eigenschaft der Stetigkeit an dieser Stelle gar nicht. Ansonsten ist die Funktion aber auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
> (ii) 1.Ableitung ergibt: [mm]\bruch{3x²-6}{x²}[/mm]
Richtig.
> Die Funktion ist auf ihrem Def.bereich auch
> differenzierbar
Genau.
> (iii) x1= [mm]\wurzel{2},[/mm] x2= [mm]-\wurzel{2}[/mm]
> Durch einsetzen in f''(x) sieht man, dass [mm]\wurzel{2}[/mm]
> lokales Minimum ist,
> [mm]-\wurzel{2}[/mm] hingegen lokales Maximum ist.
Alles richtig.
> (iv) Bei der 2.Ableitung erhält man [mm]\bruch{12x}{x^{4}}.[/mm]
[mm] =\bruch{12}{x^{3}}
[/mm]
> Die Gleichung
f''(x) = 0
> wäre nur für x=0 erfüllt,
Naja, auch für x = [mm] \pm\infty, [/mm] aber es kommt ja aufs selbe hinaus...
> allerdings ist hier
> die Funktion nicht definiert => WP kann hier nicht
> existieren und einen anderen gibt es nicht.
Richtig.
> (v) monoton steigend auf [mm](-\infty,-\wurzel{2}][/mm] und
> [mm][\wurzel{2},\infty)[/mm]
Richtig.
> (vi) konvex auf [mm](0,\infty)[/mm]
Richtig.
Ist doch alles richtig gewesen, super!
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