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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 19.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale
(i) [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{dx}{x²-2x+2}}
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x²}{\wurzel{1+x^{3}}}}dx
[/mm]
(iii) [mm] \integral_{0}^{2}{(x²-x)logx dx} [/mm] |
Meine Lösungen:
Aufg.4
(i) Hierfür hab ich eine Formel für uneigentliche Integrale gefunden, die evtl passen könnte:
... = [mm] [\bruch{2}{\wurzel{4q-p²}}arctan\bruch{2x+p}{\wurzel{4q-p²}}] [/mm] = einsetzen der Grenzen = arctan2 - arctan1 = arctan2 - [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
(ii) Ich substituiere z=1+x³ und erhalte:
[mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{3\wurzel{z}}dz} [/mm] = einsetzen der Grenzen = [mm] \bruch{1}{3}ln3
[/mm]
(iii) Hier erhalte ich nach partieller Integration u'(x) = x²-x und v(x)=logx:
[mm] \bruch{2}{3}log2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Dein Ansatz ist sehr gut und richtig! Aber bist Du sicher, dass die untere Grenze hier [mm] $x_u [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] heißen soll? Denn für diesen Wert ist [mm] $\log(x)$ [/mm] gar nicht definiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 19.02.2008 | | Autor: | diecky |
Öhm..ja..komischerweise geht das Integral von 0 bis 2,aber du hast recht: für 0 ist log(x) nicht definiert...und nu? Ist die Lösung dann nicht definiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Sollte die untere Grenze tatsächlich [mm] $x_u [/mm] \ = \ 0$ lauten, musst Du ein sogenanntes "uneigentliches Integral" mittels Grenzwertbetrachtung berechnen:
[mm] $$\integral_{0}^{2}{\left(x^2-x\right)*\log(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow 0}\integral_{u}^{2}{\left(x^2-x\right)*\log(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Deine Formel habe ich nicht überprüft. Du kannst ja umformen:
[mm] $$\bruch{1}{x^2-2x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2-2x+1+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x-1)^2+1}$$
[/mm]
Das ergibt dann als Stammfunktion: [mm] $\arctan(x-1)$ [/mm] .
Damit stimmt auch Dein Ergebnis.
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wie kommst Du hier auf den [mm] $\ln(...)$ [/mm] ?
