doppelte Nullstelle < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe bekommen, aber wir hatten noch nie doppelte Nullstellen in der Schule. Nun würde ich gerne auf eure Hilfe zurückgreifen:
Zeigen Sie, dass f(x) = 0,25x³ - 1,5x² +8 an der Stelle x=4 eine doppelte Nullstelle hat!
Danke schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hasiZhase,
$(x-4)$ ist doppelte NST von f bedeutet, dass [mm] $(x-4)^2$ [/mm] NST von f ist
Bestimme also mal die Nullstellen von f , dh. löse die Gleichung $f(x)=0$, also [mm] $\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+8=0$ [/mm] .
Eine Lösung wurde ja freundlicherweise schon vorgegeben, nämlich [mm] $x_0=4$
[/mm]
Dass das ne Lösung ist, kannst du überprüfen, indem du [mm] $x_0=4$ [/mm] einsetzt, als [mm] $f(x_0)=\frac{1}{4}4^3-\frac{3}{2}4^2+8=16-24+8=0$ [/mm] - passt
Nun kannst du mittels Polynomdivision (den Linearfaktor) [mm] $(x-x_0)$, [/mm] also $(x-4)$ abspalten:
Berechne mal [mm] $(\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+8):(x-4)=q(x)$
[/mm]
Das liefert dir eine quadratische Funktion q(x), deren Nullstellen du mit der p/q-Formel berechnen kannst.
Mache das mal und du wirst sehen, dass [mm] $x_1=4$ [/mm] eine davon ist.
Damit ist dann $(x-4)$ doppelte NST
LG
schachuzipus
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Hey
wurde dir ja jetzt schon alles erklärt wie du vorgehen muss.Um dann noch dir zu erklären was eine doppelte Nullstelle bedeutet: Bei einer doppelten Nullstelle berüht die Funktion nur die x-Achse.
[Dateianhang nicht öffentlich]
" Wenn du eine doppelte Nullstelle hast, heißt das doch, dass die erste Ableitung an dieser Stelle auch gleich Null ist, also hast du hier auch gleichzeitig einen Hochpunkt bzw. Tiefpunkt.
Da es sich um keine dreifache Nullstelle handelt, kann die zweite Ableitung nicht auch noch Null sein. Somit liegt also kein Wendepunkt vor.
Also kann die Kurve die X-Achse nicht schneiden, sondern nur berühren."
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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