drehmatrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 07.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu diesem Wiki Artikel
http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix
und zwar zu den Drehmatrizen im [mm] R^3
[/mm]
DIe Drehmatrix um die z-Achse und um die x-Achse ergeebn sich ja direkt aus der auch im Artikel hergeleiteten Drehmatrix für den [mm] R^2 [/mm] aber die Drehmatrix für die y-Achse verstehe ich nicht weshalb ist
[mm] \pmat{ cos & 0 & sin \\ 0 & & 0 \\ -sin & 0 & cos }
[/mm]
denn hier das -sin nicht da wo das sin steht, dass würde doch wesentlich mehr sinn ergeben. Die Drehmatrizen von x und z sidn ja auch in diesem Muster gehalten...
kann mri da jemand helfen?
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> Hallo,
> ich habe eine Frage zu diesem Wiki Artikel
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsmatrix
> und zwar zu den Drehmatrizen im [mm]R^3[/mm]
> DIe Drehmatrix um die z-Achse und um die x-Achse ergeebn
> sich ja direkt aus der auch im Artikel hergeleiteten
> Drehmatrix für den [mm]R^2[/mm] aber die Drehmatrix für die y-Achse
> verstehe ich nicht weshalb ist
> [mm]\pmat{ cos & 0 & sin \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin & 0 & cos }[/mm]
> denn
> hier das -sin nicht da wo das sin steht, dass würde doch
> wesentlich mehr sinn ergeben. Die Drehmatrizen von x und z
> sidn ja auch in diesem Muster gehalten...
Hallo noobo2,
du meinst wohl, das Minuszeichen sollte auch
wieder "rechts oben" stehen ...
Bei der Vertauschung der Rollen von x- y- und
z-Achse wird die Matrix aber quasi durchgescrollt:
von links nach rechts und von oben nach unten.
Wenn man die Matrix periodisch erweitert, siehst
du wohl ein, dass alles passt:
[mm] \pmat{1&0&0&1&0&0&1& .....\\0&cos&-sin&0&cos&-sin&0& .....\\0&sin&\blue{cos}&\blue{0}&\blue{sin}&cos&0& .....\\1&0&\blue{0}&\blue{1}&\blue{0}&0&1& .....\\0&cos&\blue{-sin}&\blue{0}&\blue{cos}&-sin&0& .....\\0&sin&cos&0&sin&cos&0& .....\\ .....&.....&.....&.....&.....&.....&.....&.....}
[/mm]
Die drei Matrizen, die du vergleichst, erscheinen
hier als [mm] 3\times{3}- [/mm] Untermatrizen.
Genügt dir das ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 07.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
leider kann ich mit deiner darstellung relativ wenig anfangen. Also für mich ist die x und z Drehugn logisch aber die um die y-Achse nicht. Dazu kommt, dass die sich wohl da selbst nicht so sicher sidn wenn mans ich mal die diskussionsseite zu dem artikel anguckt. Weshalb sollte dort oben auf einmal nicht mehr -sin sondern nur noch sin stehen ?
Diese Drehamtrixen funktionieren doch auf der Basis, dass man einmal guclt wie eine Drehugn in der Ebene veläuft , dann mit den Additionstheorem umformt und die 2D Matrix dann nur noch anpasst. So ist es bei der z Drehamtrix besonders logisch. Der Punkt wird in der ebene gedreht und die Höhe bleibt einfach erhalten...wie komtm an dann auf die darstellungsweise der y-Achse ?
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> Hallo,
> leider kann ich mit deiner darstellung relativ wenig
> anfangen. Also für mich ist die x und z Drehugn logisch
> aber die um die y-Achse nicht. Dazu kommt, dass die sich
> wohl da selbst nicht so sicher sidn wenn mans ich mal die
> diskussionsseite zu dem artikel anguckt. Weshalb sollte
> dort oben auf einmal nicht mehr -sin sondern nur noch sin
> stehen ?
> Diese Drehamtrixen funktionieren doch auf der Basis, dass
> man einmal guclt wie eine Drehugn in der Ebene veläuft ,
> dann mit den Additionstheorem umformt und die 2D Matrix
> dann nur noch anpasst. So ist es bei der z Drehamtrix
> besonders logisch. Der Punkt wird in der ebene gedreht und
> die Höhe bleibt einfach erhalten...wie komtm an dann auf
> die darstellungsweise der y-Achse ?
Gut, wenn du dir das Zustandekommen der Formeln
für die Drehung um die z-Achse (als Drehung in der
x-y-Ebene im positiven Drehsinn) klar gemacht hast,
erkennst du z.B.:
[mm] \vektor{1\\0\\z} [/mm] geht über in [mm] \vektor{cos(\alpha)\\sin(\alpha)\\z} [/mm]
[mm] \vektor{0\\1\\z} [/mm] geht über in [mm] \vektor{-sin(\alpha)\\cos(\alpha)\\z}
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] geht über in [mm] \vektor{x*cos(\alpha)-y*sin(\alpha)\\x*sin(\alpha)+y*cos(\alpha)\\z}
[/mm]
Aus dem letzten Vektor ist die entsprechende Drehmatrix
(für Rotation um die z-Achse) ablesbar.
So, und nun dasselbe, für eine Drehung um die y-Achse.
Jetzt bleiben die y-Werte erhalten, und wir haben eine
Drehung in der z-x-Ebene. Und jetzt kommt etwas
Wichtiges, für deine Frage vielleicht Entscheidendes:
Das Koordinatensystem soll in der üblichen Weise
orientiert sein ("Rechte-Hand-Regel"). Eine Drehung
um die z-Achse um +90° dreht die positive x-Achse
in die positive y-Achse. Dann dreht die Rotation um
die y-Achse um +90° die positive z-Achse in die
positive x-Achse (nicht umgekehrt !). Mache dir dies
an einem räumlichen Modell klar. Dann solltest du in
der Lage sein, die Drehmatrix für diesen Fall wie oben
für die Drehung um die z-Achse gezeigt selber herzuleiten.
Gruß und schönen Abend !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 07.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
das was von dir beschrieben wird ist mir klar. Man dreht ja imme rim mathematisch positiven sinn also gegen den uhrzeiger. Aber ich weis leider trotzdem nicht, wei man daraus jetzt daraus ableiten soll, dass der -sin auf einmal woanders steht, bzw. ob das jetzt überhaupt richtig ist oder falsch
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> Hallo,
> das was von dir beschrieben wird ist mir klar. Man dreht
> ja immer im mathematisch positiven sinn also gegen den
> uhrzeiger. Aber ich weiß leider trotzdem nicht, wie man
> daraus jetzt daraus ableiten soll, dass der -sin auf einmal
> woanders steht, bzw. ob das jetzt überhaupt richtig ist
> oder falsch
Du müsstest jetzt nur mal zu Papierblock und Bleistift
greifen, dir ein 3D-Koordinatensystem und eine x-z-Ebene
skizzieren: zum Beispiel x-Achse nach links, z-Achse nach
oben, damit du aus deiner Blickrichtung auf das Blatt auch
im positiven Sinn drehen kannst.
Nun nehmen wir einmal den Punkt(x=1/y/z=0) und drehen
ihn um einen (z.B. spitzen) Winkel [mm] \alpha. [/mm] Wo landet er:
bei [mm] (x=cos(\alpha)/y/z=-sin(\alpha)).
[/mm]
Nun dasselbe mit dem Punkt (x=0/z=1). Der geht über
in [mm] (x=sin(\alpha)/y/z=cos(\alpha)).
[/mm]
Ein beliebiger Punkt (x/y/z) geht also über in
[mm] (x*cos(\alpha)+z*sin(\alpha)/y/-x*sin(\alpha)+z*cos(\alpha))
[/mm]
(das entsteht durch Linearkombination).
Daraus kann man nun die Drehmatrix ablesen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Sa 07.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ja aber warum soll die x-Achse nach linsk gehen also eigentlich sieht das koordinatensystem bei mri immer so aus
x nach rechts , y nach oben und z nach vorne halt in der kavalierprojektion.
Und noch einmal die Frage wenn man doch einmal die 2D Matrix hergeleitet hat, dann ist es doch eigentlich logisch sie einfach nur auf die 3 Achsen zu übertragen.
Und wenn ich mein koordinatensyetem so leeg wie von mir beschrieben passt das was du geschrieben hast auch nicht und wenn die x-achse nur nach links geht, dann kann sie ja nur "negativ" sein oder? also ich verstehe einfach nicht warum man nicht einfach da von der x und der z Achse auf die y Achse schlieeßn kann bzw was das besondere an dieser achse sein soll. Die allgemeien HErleitung der Drehmatrizen ist doch die die auch in dem Wiki Artikel beschrieben wird oder? Und ob ich jetzt die x,y die x,z oder z,y Ebene hab macht doch für die Drehung von Koordinaten keinen Unterschied oder? Weil jede Koordinate die zuvor 3D ist wird einfahc in ein 2D koordinatensystem eingebettet und bekomtm ihre urspurngskoordinate durch x= cos und y=sin
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> Hallo,
> ja aber warum soll die x-Achse nach links gehen also
> eigentlich sieht das koordinatensystem bei mir immer so
> aus
> x nach rechts , y nach oben und z nach vorne halt in der
> kavalierprojektion.
Du musst dir nur einmal ein räumliches Koordinaten-
system basteln: mit den Kanten einer Schuhschachtel
oder mit drei paarweise rechtwinklig zusammengenagelten
Leisten. Schreibe die drei Achsen an ! Wenn du dann die
x-z-Ebene von der Richtung her betrachtest, in welche
die y-Achse zeigt, dann siehst du, wie die positive x-Achse
und die positive z-Achse relativ zueinander orientiert sind,
nämlich so wie die y- und die x-Achse (in dieser Reihenfolge !)
wenn du aus der z-Richtung schaust.
Dieses Modell kannst du beliebig im Raum drehen und aus
den verschiedensten Richtungen betrachten.
Sässen wir zusammen an einem Tisch, könnte ich dir dies
viel leichter deutlich machen als mit vielen Worten.
> Und noch einmal die Frage wenn man doch einmal die 2D
> Matrix hergeleitet hat, dann ist es doch eigentlich logisch
> sie einfach nur auf die 3 Achsen zu übertragen.
Klar, die nicht benützte Koordinate bleibt einfach jeweils
konstant.
> Und wenn ich mein koordinatensyetem so leg wie von mir
> beschrieben passt das was du geschrieben hast auch nicht
> und wenn die x-achse nur nach links geht, dann kann sie ja
> nur "negativ" sein oder? also ich verstehe einfach nicht
> warum man nicht einfach da von der x und der z Achse auf
> die y Achse schließen kann bzw was das besondere an dieser
> achse sein soll.
An der y-Achse ist überhaupt nichts Besonderes.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 So 08.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
zuerst einmal möchte ich mich bei dir für deine große Mühe bedanken.
Ich hab hier ein 3d Koordinatensystem gefunden, dass meinem entspricht. Und dass was du sagst stimmt ja, aber genau bei deinem Satz
[Dateianhang nicht öffentlich]
"Dieses Modell kannst du beliebig im Raum drehen und aus
den verschiedensten Richtungen betrachten."
liegt ja auch das Problem, wenn ich so wie das Bild jetzt ist von oben auf die x,z Ebene Drauf gucke dann sieht das für mich so aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Soll ich zur HErleitung der Drehmatrix um die y Achse nun dort einen Punkt auswählen und ihn durch sin und cos beschreiben und dann so wieter rechnen wie in dem wikipedia artikel halt nru mit einem anderen Additionstheorem?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
> zuerst einmal möchte ich mich bei dir für deine große Mühe
> bedanken.
Bitte, gern geschehen.
> Ich hab hier ein 3d Koordinatensystem gefunden, dass meinem
> entspricht. Und das was du sagst stimmt ja, aber genau bei
> deinem Satz
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> "Dieses Modell kannst du beliebig im Raum drehen und aus
> den verschiedensten Richtungen betrachten."
> liegt ja auch das Problem, wenn ich so wie das Bild jetzt
> ist von oben auf die x,z Ebene drauf gucke dann sieht das
> für mich so aus
> [Dateianhang nicht öffentlich]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn du willst, kannst du auch z nach rechts, x nach oben
zeichnen, etc. ...
>
> Soll ich zur Herleitung der Drehmatrix um die y Achse nun
> dort einen Punkt auswählen und ihn durch sin und cos
> beschreiben und dann so weiter rechnen wie in dem wikipedia
> artikel halt nur mit einem anderen Additionstheorem?
Du kannst es sogar genau analog wie dort machen:
Wenn [mm] \varphi=0 [/mm] für die z-Richtung und [mm] \varphi=90° [/mm] für
die x-Richtung ist, hast du:
[mm] z_1=cos(\varphi)
[/mm]
[mm] x_1=sin(\varphi)
[/mm]
[mm] z_2=cos(\varphi+\alpha)
[/mm]
[mm] x_2=sin(\varphi+\alpha)
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 08.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
okay, aber wenn alles ganz genau analog funktioniert, also sogar das gleiche additionstheorem benutzt wird, dann komme ich ja auch auf das gleiche wie bei der z-Achse ? also ist die andere position des -sin in der y-Drehmatrix für mcih noch unlogischer....
könntest du vielleicht zeigen wie du von diesem Punkt aus auf die Drehmatrix mit dem -sin an der ungewohnten stelle kommst??
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> könntest du vielleicht zeigen wie du von diesem Punkt aus
> auf die Drehmatrix mit dem -sin an der ungewohnten stelle
> kommst?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Du kannst es sogar genau analog wie dort machen:
Wenn [mm] \varphi=0 [/mm] für die z-Richtung und [mm] \varphi=90° [/mm] für
die x-Richtung ist, hast du:
[mm] z_1=cos(\varphi)
[/mm]
[mm] x_1=sin(\varphi)
[/mm]
[mm] z_2=cos(\varphi+\alpha)=cos(\varphi)*cos(\alpha)-sin(\varphi)*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] =z_1*cos(\alpha)-x_1*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] x_2=sin(\varphi+\alpha)=sin(\varphi)*cos(\alpha)+cos(\varphi)*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] =x_1*cos(\alpha)+z_1*sin(\alpha)
[/mm]
in Matrix-Schreibweise (inklusive y-Koordinate):
[mm] \pmat{x_2\\y_2\\z_2}=\pmat{cos(\alpha)&0&sin(\alpha)\\0&1&0\\-sin(\alpha)&0&cos(\alpha)}*\pmat{x_1\\y_1\\z_1}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 08.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also so wie du es jetzt geschildert hast ist es schon klar. Aber noch eine Frage und zwar ist bei wiki bei dem beispiel x= cos und y= sin
und hier ist z=cos und x=sin und dadurch kommt dann nahc dem additionstheorem und der sortierung der ergebnisse nach x und y das -sin dahin.
Aber du sagtest doch, dass dieses 2D koordinatensystem aus z und x frei drehbar ist und man es sich genauso wie das x,y koordinatensystem vorstellen kann, weshalb ist dann hier das x = sin und z=cos und nciht wiezuvor x=cos?
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> hallo,
> also so wie du es jetzt geschildert hast ist es schon
> klar. Aber noch eine Frage und zwar ist bei wiki bei dem
> beispiel x= cos und y= sin
> und hier ist z=cos und x=sin und dadurch kommt dann nach
> dem additionstheorem und der sortierung der ergebnisse nach
> x und y das -sin dahin.
> Aber du sagtest doch, dass dieses 2D koordinatensystem aus
> z und x frei drehbar ist und man es sich genauso wie das
> x,y koordinatensystem vorstellen kann, weshalb ist dann
> hier das x = sin und z=cos und nicht wie zuvor x=cos?
Wenn du darauf beharren willst, dass x=cos sein soll
und z=sin, dann musst du beachten, dass eine Drehung
im Gegenuhrzeigersinn dann einem negativen
Drehwinkel entspricht! Mach dir dies in einer Zeichnung
klar: du musst genau darauf achten, was genau der
Winkel [mm] \varphi [/mm] und der Drehwinkel [mm] \alpha [/mm] ist.
Du kannst auch x=cos setzen und den positiven
Drehsinn mit einem positiven Drehwinkel verbinden;
allerdings musst du dann z=-sin setzen !
[mm] z_1=cos(\varphi)
[/mm]
[mm] x_1=sin(\varphi)
[/mm]
[mm] z_2=cos(\varphi+\alpha)=cos(\varphi)*cos(\alpha)-sin(\varphi)*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] =z_1*cos(\alpha)-x_1*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] x_2=sin(\varphi+\alpha)=sin(\varphi)*cos(\alpha)+cos(\varphi)*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] =x_1*cos(\alpha)+z_1*sin(\alpha)
[/mm]
soweit warst du einverstanden - oder ?
in Matrix-Schreibweise (inklusive y-Koordinate):
[mm] \pmat{x_2\\y_2\\z_2}=\pmat{cos(\alpha)&0&sin(\alpha)\\0&1&0\\-sin(\alpha)&0&cos(\alpha)}*\pmat{x_1\\y_1\\z_1}
[/mm]
Wende einfach die Regeln für die Multiplikation
Matrix*Vektor=Vektor an und überzeuge dich,
dass dabei genau die obigen Gleichungen entstehen !
Dass du so hart am Ball bleibst, wenn es ums Verstehen
geht, finde ich gut. Was du so gewinnen kannst, ist
dann auch gesichertes Wissen.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 08.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
$ [mm] z_1=cos(\varphi) [/mm] $
$ [mm] x_1=sin(\varphi) [/mm] $
$ [mm] z_2=cos(\varphi+\alpha)=cos(\varphi)\cdot{}cos(\alpha)-sin(\varphi)\cdot{}sin(\alpha) [/mm] $
$ [mm] =z_1\cdot{}cos(\alpha)-x_1\cdot{}sin(\alpha) [/mm] $
$ [mm] x_2=sin(\varphi+\alpha)=sin(\varphi)\cdot{}cos(\alpha)+cos(\varphi)\cdot{}sin(\alpha) [/mm] $
$ [mm] =x_1\cdot{}cos(\alpha)+z_1\cdot{}sin(\alpha) [/mm] $
soweit warst du einverstanden - oder ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
ja aber nur unter der bedingung, dass man begründne kann warum z auf einmal cos sein soll, ich hab jetzt hier mal einfach (irgendeinen!) Punkt eingezeichnet , da ist z aber nicht cos, wie muss ich den punkt denn einzeichnen, damit dies der fall ist bzw. welchen fehler habe ich gemacht?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
>
> [mm]z_1=cos(\varphi)[/mm]
> [mm]x_1=sin(\varphi)[/mm]
>
> [mm]z_2=cos(\varphi+\alpha)=cos(\varphi)\cdot{}cos(\alpha)-sin(\varphi)\cdot{}sin(\alpha)[/mm]
>
> [mm]=z_1\cdot{}cos(\alpha)-x_1\cdot{}sin(\alpha)[/mm]
>
> [mm]x_2=sin(\varphi+\alpha)=sin(\varphi)\cdot{}cos(\alpha)+cos(\varphi)\cdot{}sin(\alpha)[/mm]
>
> [mm]=x_1\cdot{}cos(\alpha)+z_1\cdot{}sin(\alpha)[/mm]
>
> soweit warst du einverstanden - oder ?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> ja aber nur unter der bedingung, dass man begründen kann
> warum z auf einmal cos sein soll, ich hab jetzt hier mal
> einfach (irgendeinen!) Punkt eingezeichnet , da ist z aber
> nicht cos, wie muss ich den punkt denn einzeichnen, damit
> dies der fall ist bzw. welchen fehler habe ich gemacht?
Du musst den Winkel nicht von der x-Achse aus im
Uhrzeigersinn, sondern von der z-Achse aus im
Gegenuhrzeigersinn messen. Dein Unterbewusstsein
hat dir offenbar einen Wink gegeben, indem du den
Winkel zwischen x-Achse und Ortsvektor mit [mm] \lambda
[/mm]
bezeichnet hast (das hatten wir bisher nicht!).
Der Winkel, den du brauchst, ist der zwischen z-Achse
und Ortsvektor (im Gegenuhrzeigersinn gemessen): [mm] \varphi=90°-\lambda. [/mm]
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 08.02.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
kannst du das vllt einfach mal aufzeichnen, was ich wo messen soll bitte?
ich weis nur der mathematisch positive sinn ist gegen den uhrzeiger
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Zur Geisterstunde:
ich möchte dir noch folgende Übung empfehlen:
Nimm die Drehmatrizen [mm] D_z, D_x, D_y [/mm] und die
alternative [mm] D_y^{\*} [/mm] sowie die Grundvektoren
$\ [mm] e_1=\vektor{1\\0\\0}\ ,\quad e_2=\vektor{0\\1\\0}\ ,\quad e_3=\vektor{0\\0\\1}$
[/mm]
Berechne alle 12 Produkte $\ Matrix\ *\ Vektor$ , die
möglich sind:
$\ [mm] D_z*e_1\,,\,D_z*e_2\,,\,......\,,\,D_y^{\*}*e_2\,,\, D_y^{\*}*e_3$
[/mm]
und betrachte die Ergebnisse in deinem räumlichen
Modell.
Beachte, dass die Matrix [mm] D_y [/mm] im positiven Dreh-
sinn dreht (so wie [mm] D_x [/mm] und [mm] D_z), [/mm] aber [mm] D_y^{\*} [/mm] im
negativen Drehsinn !
Schönen Sonntag !
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