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| Aufgabe | Bestimme das dreifache Integral:
[mm] I=\integral_{V}^{} [/mm] x * [mm] \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, [/mm] dxdydz
und
[mm] I=\integral_{V}^{} x^{2}* \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, [/mm] dxdydz
wobei V um O und über R.
Bedenke das Kugelkoordinaten als geschrieben worden:
[mm] x=r*\cos \phi [/mm] * [mm] \sin \beta [/mm]
[mm] y=r*\sin \phi [/mm] * [mm] \sin \beta [/mm]
[mm] z=r*\cos \beta
[/mm]
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ich soll die Integrale mit Hilfe von Kugelkoordinaten lösen :)
Ich habe das nun alles eingesetzt hake aber bei der Findung der Integrationgrenzen... ich würde einmal von 0 bis r und einmal von 0 bis 2* [mm] \pi [/mm] integrieren, aber ist das richtig? und was wäre die dritte Grenze?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bepaal de drievoudige integralen:
>
> [mm]I=\integral_{V}^{}[/mm] x *
> [mm]\bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,[/mm]
> dxdydz
>
> en
>
> [mm]I=\integral_{V}^{} x^{2}* \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,[/mm]
> dxdydz
>
> waarbij V de bol rond O en straal R.
Ist das holländisch ?
waarbij V de bol rond O en straal R = wobei V die Kugel um 0 mit Radius R ??
Wenn ja:
[mm] \beta \in [/mm] [0, [mm] \pi]
[/mm]
[mm] \phi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
r [mm] \in [/mm] [0,R]
FRED
> Bedenk dat bolcoördinaten geschreven worden als:
> [mm]x=r*\cos \phi[/mm] * [mm]\sin \beta[/mm]
> [mm]y=r*\sin \phi[/mm] * [mm]\sin \beta[/mm]
> [mm]z=r*\cos \beta[/mm]
>
>
>
> Auf deutsch:
>
> ich soll die Integrale mit Hilfe von Kugelkoordinaten
> lösen :)
>
>
> Ich habe das nun alles eingesetzt hake aber bei der Findung
> der Integrationgrenzen... ich würde einmal von 0 bis r und
> einmal von 0 bis 2* [mm]\pi[/mm] integrieren, aber ist das richtig?
> und was wäre die dritte Grenze?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Alaizabel |
Ja, genau, ich denke das soll das heißen :)
Vielen, lieben Dank :)
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so, ich hab jetzt ein wenig rumgerechnet :)
$ [mm] I=\integral_{V}^{} x^{2}\cdot{} \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, [/mm] $ dxdydz
ich habe alles eingesetzt und dann nach d [mm] \beta [/mm] danach [mm] d\phi [/mm] gerechnet und bin bei:
[mm] \cos (2)^{2} [/mm] * [mm] \pi^{2} [/mm] * |r|* [mm] exp(-r^2)
[/mm]
stimmt das?
das wollte ich dann nochmal nach r intergrieren, aber dort bin ich gescheitert, ich komm mit |r| * [mm] exp(-r^2) [/mm] nicht klar... wie intergiere ich den term?
und das gleich hab ich bei der ersten Gleichung
$ [mm] I=\integral_{V}^{} x\cdot{} \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, [/mm] $ dxdydz
dort komm ich nach integration über [mm] \beta [/mm] und [mm] \phi [/mm] auf:
4 [mm] \cos [/mm] 2 * [mm] \pi [/mm] *sign (r) * [mm] exp(-r^2)
[/mm]
kann das stimmen?
aber ich bin wieder nicht in der lage:
sign (r) * [mm] exp(-r^2) [/mm] zu integrieren :(
kann mir jeman einen tipp geben??
vielen lieben dank :)
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> so, ich hab jetzt ein wenig rumgerechnet :)
>
> $\ [mm] I=\integral_{V}^{} x^{2}\cdot{} \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, dx\,dy\,dz$
[/mm]
>
> ich habe alles eingesetzt und dann nach [mm]d\beta[/mm] danach
> [mm]d\phi[/mm] gerechnet und bin bei:
>
> [mm]\cos (2)^{2}[/mm] * [mm]\pi^{2}[/mm] * |r|* [mm]exp(-r^2)[/mm]
>
> stimmt das?
Nein.
Weshalb brauchst du da ein |r| überhaupt ?
Alle r sind ohnehin nichtnegativ !
> das wollte ich dann nochmal nach r intergrieren, aber dort
> bin ich gescheitert, ich komm mit |r| * [mm]exp(-r^2)[/mm] nicht
> klar... wie intergiere ich den term?
>
> und das gleich hab ich bei der ersten Gleichung
>
> [mm]I=\integral_{V}^{} x\cdot{} \bruch{exp(-x^{2}-y^{2}-z^{2})}{\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dx\,dy\,dz[/mm]
>
> dort komm ich nach integration über [mm]\beta[/mm] und [mm]\phi[/mm] auf:
>
> 4 [mm]\cos[/mm] 2 * [mm]\pi[/mm] *sign (r) * [mm]exp(-r^2)[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> kann das stimmen?
Nein.
> aber ich bin wieder nicht in der lage:
> sign (r) * [mm]exp(-r^2)[/mm] zu integrieren :(
>
> kann mir jemand einen tipp geben??
>
Gib mal eine der Integrationen inkl. Koordinatentrans-
formation komplett an.
So wie ich sehe, zerfallen beide Doppelintegrale sehr
schön in ein Produkt von drei einfachen Integralen
über die drei Variablen.
Überdies lässt sich der Wert des ersten Integrals
durch eine einfache Symmetriebetrachtung ohne
Rechnung bestimmen.
LG Al-Chw.
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okay, ich zeig jetzt einfach mal was ich geheim vor mich hingerechnet hab :)
zum ersten Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi} r*\cos \phi [/mm] * [mm] \sin \beta\, d\beta
[/mm]
so das ist bei mir: [mm] 2*\cos [/mm] 2*r
dann
[mm] \integral_{0}^{\pi} exp(-r^2\cos\phi^2*\sin\beta^2-r^2*\sin\phi^2*\sin\beta^2-r^2*\cos\beta^2\, d\beta
[/mm]
das sei: [mm] \pi*exp(-r^2)
[/mm]
und dann noch
[mm] \integral_{0}^{\pi} \bruch{1}{r^2\cos\phi^2*\sin\beta^2+r^2*\sin\phi^2*\sin\beta^2+r^2*\cos\beta^2}\, d\beta
[/mm]
das ist [mm] \pi*\bruch{1}{r}
[/mm]
dann hab ich das zusammengesetzt und bin bei
[mm] 2\cos2\pi*r^2*exp(-r^2)
[/mm]
nun intergriere ich das nach [mm] \phi [/mm] und komme auf:
[mm] 4\cos2\pi*r^2*exp(-r^2)
[/mm]
das möchte ich nun nach r integrieren aber komme nicht weiter...
klar: [mm] 4\cos2\pi [/mm] kann ich außen vor lassen
und nun hab ich [mm] r^2*exp(-r^2) [/mm] als [mm] \bruch{r^2}{exp(r^2)} [/mm] geschrieben, aber komme nicht weiter...
danke für deine Hilfe :) ich hoffe das ist jetzt verständlicher...
liebe grüße :)
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hallo,
ich verstehe nicht recht, weshalb du nicht zuerst das
gesamte drievoudige Integral hinschreibst, in Kugel-
koordinaten:
[mm] $\integral_{\varphi=...\ }^{...}\integral_{r=...\ }^{...}\integral_{\beta=...}^{...} \underbrace{r\,cos(\varphi)}_{x}*\frac{e^{-r^2}}{r}*\underbrace{r^2\,sin(\beta)\ d\beta\,dr\,d\varphi}_{dx\,dy\,dz}$ [/mm]
Als nächstes kann man die r wegkürzen und dann
sehen, wie man das Integral in einzelne Integrale
auflöst.
LG
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Hallo :)
ja, das ist eine gute frage... hmmm.
aber auch wenn ich das so rechne komm ich auf das gleich was ich davor geschrieben hatte. oder sehe ich irgendetwas nicht, was ich wegkürzen kann?
für mich steht da im integral so: [mm] \cos2*r^2*exp(r^2)*\sin\beta
[/mm]
seh ich das richtig?
vielen dank :)
liebe grüße
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Hallo Alaizabel,
> Hallo :)
>
> ja, das ist eine gute frage... hmmm.
> aber auch wenn ich das so rechne komm ich auf das gleich
> was ich davor geschrieben hatte. oder sehe ich irgendetwas
> nicht, was ich wegkürzen kann?
> für mich steht da im integral so:
> [mm]\cos2*r^2*exp(r^2)*\sin\beta[/mm]
Nicht ganz, der Integrand ergibt sich zu:
[mm]r^{2}*e^{\red{-}r^{2}}*\sin^{\red{2}}\left(\beta\right)*\cos\left(\phi\right)[/mm]
>
> seh ich das richtig?
>
> vielen dank :)
>
> liebe grüße
Gruss
MathePower
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okay, ja, das seh ich ein :)
wenn ich das nun integiere einmal nach [mm] \beta [/mm] und dann nach [mm] \phi [/mm]
nach intergration über [mm] \beta [/mm] :
[mm] \bruch{\cos2+\pi+r^2+exp(r^2)}{2} [/mm] Grenze von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
nach integration über [mm] \phi [/mm] Grenze von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
bin ich bei [mm] \cos2*\pi^2*r^2*exp(r^2)
[/mm]
nun soll ich das ganze noch nach über r integrieren.
Das bekomme ich gar nicht hin :(ich weiß nicht wie ich [mm] r^2*exp(r^2) [/mm] integriere...
vielen dank für eure hilfe :)
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Hallo Alaizabel,
> okay, ja, das seh ich ein :)
>
> wenn ich das nun integiere einmal nach [mm]\beta[/mm] und dann nach
> [mm]\phi[/mm]
> nach intergration über [mm]\beta[/mm] :
> [mm]\bruch{\cos2+\pi+r^2+exp(r^2)}{2}[/mm] Grenze von 0 bis [mm]\pi[/mm]
Das soll wohl heißen: [mm]\bruch{\pi}{2}*r^{2}*e^{-r^{2}}*\cos\left(\phi\right)[/mm]
>
> nach integration über [mm]\phi[/mm] Grenze von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
>
> bin ich bei [mm]\cos2*\pi^2*r^2*exp(r^2)[/mm]
Das mußt Du nochmal nachrechnen:
[mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{\pi}{2}*r^{2}*e^{-r^{2}}*\cos\left(\phi\right) \ d\phi}= ...[/mm]
>
> nun soll ich das ganze noch nach über r integrieren.
> Das bekomme ich gar nicht hin :(ich weiß nicht wie ich
> [mm]r^2*exp(r^2)[/mm] integriere...
>
> vielen dank für eure hilfe :)
Gruss
MathePower
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> Hallo :)
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> ja, das ist eine gute frage... hmmm.
> aber auch wenn ich das so rechne komm ich auf das gleich
> was ich davor geschrieben hatte. oder sehe ich irgendetwas
> nicht, was ich wegkürzen kann?
> für mich steht da im integral so:
> [mm]\cos2*r^2*exp(r^2)*\sin\beta[/mm]
>
> seh ich das richtig?
>
> vielen dank :)
>
> liebe grüße
Hallo,
Noch einmal: weshalb scheust du die Arbeit, die Integrale
vollständig hinzuschreiben ?
Ich hatte das schon notiert:
[mm] $\integral_{\varphi=...\ }^{...}\integral_{r=...\ }^{...}\integral_{\beta=...}^{...} \underbrace{r\,cos(\varphi)}_{x}*\frac{e^{-r^2}}{r}*\underbrace{r^2\,sin(\beta)\ d\beta\,dr\,d\varphi}_{dx\,dy\,dz}$
[/mm]
Als nächstes kann man die r wegkürzen und dann
sehen, wie man das Integral in einzelne Integrale
auflöst.
Nach dem Kürzen und dem Einsetzen der Grenzen hat man:
[mm] $\integral_{\varphi=0\ }^{2\,\pi}\integral_{r=0\ }^{R}\integral_{\beta=0}^{\pi} cos(\varphi)*r^2*e^{-r^2}\,sin(\beta)\ d\beta\,dr\,d\varphi$
[/mm]
Da keine der Integrationsgrenzen von den Werten anderer
Integrationsvariablen abhängig ist, kann man das Ganze in
drei Faktoren zerlegen:
$\ [mm] \left(\ \integral_{\varphi=0\ }^{2\,\pi}cos(\varphi)\,d\varphi\right)*\left(\ \integral_{r=0\ }^{R}r^2*e^{-r^2}\,dr\right)*\left(\ \integral_{\beta=0\ }^{\pi}\,sin(\beta)\ d\beta\right)$
[/mm]
Der Wert des ersten Integrals ist Null, die der anderen
beiden endlich. Also ist das Ergebnis gleich Null.
LG
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[mm]\integral_{\varphi=0\ }^{2\,\pi}\integral_{r=0\ }^{R}\integral_{\beta=0}^{\pi} cos(\varphi)*r^2*e^{-r^2}\,sin(\beta)^2\ d\beta\,dr\,d\varphi[/mm]
also wäre das dann so korrekt?
Vielen, vielen Dank für deine mühe :) :) :) :) :)
vielleicht kannst du dir ja auch mal meine frage zur jacobi-matrix anschauen, dann hätte ich bei der aufgabe vllt einen ansatz :)
liebe grüße
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> [mm]\integral_{\varphi=0\ }^{2\,\pi}\integral_{r=0\ }^{R}\integral_{\beta=0}^{\pi} cos(\varphi)*r^2*e^{-r^2}\,sin(\beta)^2\ d\beta\,dr\,d\varphi[/mm]
>
> also wäre das dann so korrekt? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Yep - so stimmt's .
LG Al
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perfekt :) danke!!!!!!
und bei dem zweiten teil der aufgabe heißt das dreifach intgral dann:
[mm] r^3\cos\phi^2\sin\beta^3{exp(-r^2)} [/mm]
?
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> perfekt :) danke!!!!!!
>
> und bei dem zweiten teil der aufgabe heißt das dreifach
> integral dann:
> [mm]r^3\,\red{(}\cos\phi\,\red{)}^2\,\red{(}\sin\beta\,\red{)}^3\,{exp(-r^2)}[/mm] ?
Nicht das Integral, sondern der Integrand.
Gruß
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ich bins nochmal... tut mir leid, dass ich so schwer von begriff bin... :(
$ [mm] \integral_{\varphi=...\ }^{...}\integral_{r=...\ }^{...}\integral_{\beta=...}^{...} \underbrace{r\,cos(\varphi)}_{x}\cdot{}\frac{e^{-r^2}}{r}\cdot{}\underbrace{r^2\,sin(\beta)\ d\beta\,dr\,d\varphi}_{dx\,dy\,dz} [/mm] $
ich verstehe nicht wo die sinusfunktion bei dem x geblieben ist und wieso [mm] dxdydz=r^2\sin\beta d\beta d\phi [/mm] dr ist...
kannst du vielleicht nochmal versuchen mir das klar zu machen?
bei mir steht im dreifachintegral: [mm] r\cos\phi\sin\beta*\bruch{exp(-r^2)}{r}
[/mm]
danke im voraus :)
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> [mm]\integral_{\varphi=...\ }^{...}\integral_{r=...\ }^{...}\integral_{\beta=...}^{...} \underbrace{r\,cos(\varphi)}_{x}\cdot{}\frac{e^{-r^2}}{r}\cdot{}\underbrace{r^2\,sin(\beta)\ d\beta\,dr\,d\varphi}_{dx\,dy\,dz}[/mm]
>
> ich verstehe nicht wo die sinusfunktion bei dem x geblieben
> ist
Oh sorry ! Das war mein Fehler ... natürlich fehlte da
noch der Faktor [mm] sin(\beta) [/mm] .
> und wieso [mm]dx\,dy\,dz=r^2\sin\beta\,d\beta\,d\phi\,dr[/mm] ist...
> kannst du vielleicht nochmal versuchen mir das klar zu
> machen?
Dies kannst du zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) da nachlesen.
>
> bei mir steht im dreifachintegral:
> [mm]r\cos\phi\sin\beta*\bruch{exp(-r^2)}{r}[/mm]
>
> danke im voraus :)
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Ich habe jetzt beim zweiten Integral mit [mm] x^2 [/mm] ein Ergebnis und zwar:
[mm] \pi\bruch{4}{3}(\bruch{-r^2}{2*exp(r^2)}-\bruch{1}{2*exp(r^2)})
[/mm]
stimmt das?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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Hallo,
ich habe jetzt (mit Unterstützung von Mathematica)
erhalten:
[mm] $\frac{2\,\pi}{3}*\left(1-(R^2+1)*e^{-R^2}\right)$
[/mm]
Das stimmt doch nicht ganz mit deinem Ergebnis
überein.
LG Al
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ich dachte [mm] \sin^3 [/mm] wird von 0 bis [mm] \pi [/mm] integriert und nicht bis [mm] 2\pi?
[/mm]
oder hab ich mich total geirrt?
vielen dank, ich hoff das war die letzte frage... Danke für die hilfe!
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> ich dachte [mm]\sin^3[/mm] wird von 0 bis [mm]\pi[/mm] integriert und nicht
> bis [mm]2\pi?[/mm]
> oder hab ich mich total geirrt?
>
> vielen dank, ich hoff das war die letzte frage... Danke
> für die hilfe!
Ach ja, klar !
Als ich mir nochmals überlegte, dass das Integral
positiv werden muss, weil der Integrand ausser in
der Ebene x=0 stets positiv ist, habe ich meine
Antwort sofort gelöscht - aber du hattest sie offen-
bar trotzdem schon gelesen ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 22.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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