durch Idempot. erzeugtes Ideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Do 08.12.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich habe mal zwei allgeine Fragen zu Idealen eines Ringes R. Meine Fragen:
1) Wenn ich ein idempotentes Element e in dem Ring R vorliegen habe, ist dann die Menge Re immer auch ein Linksideal von R bzw. eR ein Rechtsideal von R?
2) Stellen Linksideale ( Rechtsideale) bzw. zweiseitige Ideale immer einen Ring dar? Oder haben sie keine Ringstruktur?
Vielen Dank schon mal für eure Antworten!
Gruß, Yonca!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe mal zwei allgeine Fragen zu Idealen eines Ringes
> R. Meine Fragen:
>
> 1) Wenn ich ein idempotentes Element e in dem Ring R
> vorliegen habe, ist dann die Menge Re immer auch ein
> Linksideal von R bzw. eR ein Rechtsideal von R?
>
> 2) Stellen Linksideale ( Rechtsideale) bzw. zweiseitige
> Ideale immer einen Ring dar? Oder haben sie keine
> Ringstruktur?
Sei (R,+,*) ein Ring
Eine Teilmenge U von R heißt ein Unterring von R, wenn U eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und U abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d.h.
x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \in [/mm] U, wenn x [mm] \in [/mm] U und y [mm] \in [/mm] U .
Nun besorge Dir die Definitionen von "Linksideal", "Rechtsideal" und "Ideal" und vergleiche.
FRED
>
> Vielen Dank schon mal für eure Antworten!
> Gruß, Yonca!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 08.12.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
> > Hallo,
> > ich habe mal zwei allgeine Fragen zu Idealen eines Ringes
> > R. Meine Fragen:
> >
> > 1) Wenn ich ein idempotentes Element e in dem Ring R
> > vorliegen habe, ist dann die Menge Re immer auch ein
> > Linksideal von R bzw. eR ein Rechtsideal von R?
Bei dieser Frage bin ich jetzt leider immer noch nicht schlauer, ich vermute zwar dass die Antwort auf diese Frage JA lautet. Bin mir aber nicht sicher und wäre super dankbar, wenn mir dies jemand bestätigen oder widerlegen könnte.
> >
> > 2) Stellen Linksideale ( Rechtsideale) bzw. zweiseitige
> > Ideale immer einen Ring dar? Oder haben sie keine
> > Ringstruktur?
>
> Sei (R,+,*) ein Ring
>
> Eine Teilmenge U von R heißt ein Unterring von R, wenn U
> eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und U
> abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d.h.
>
> x [mm]\cdot[/mm] y [mm]\in[/mm] U, wenn x [mm]\in[/mm] U und y [mm]\in[/mm] U .
>
> Nun besorge Dir die Definitionen von "Linksideal",
> "Rechtsideal" und "Ideal" und vergleiche.
Ich würde ja sage, dass ein Linksideal selber kein Ring ist, da es nur ablgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus dem Ring in der entsprechenden Reihenfolge, also wenn R der Ring ist und I das Linksideal, dann gilt für alle Ringelemente r und für alle Elemente a aus dem Linksideal
(ra) [mm] \in [/mm] I aber es gilt eben nicht zwangsläufig (ar) [mm] \in [/mm] I. Dies wäre aber erforderlich, damit man einen Ring vorliegen hat.
Mit dieser Begründung wären eben Links- und Rechtsideale selber keine Ringe, aber ein zweiseitiges Ideal wäre ein Ring.
Stimmt das so?
Gruß, yonca!
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank schon mal für eure Antworten!
> > Gruß, Yonca!
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> > > Hallo,
> > > ich habe mal zwei allgeine Fragen zu Idealen eines Ringes
> > > R. Meine Fragen:
> > >
> > > 1) Wenn ich ein idempotentes Element e in dem Ring R
> > > vorliegen habe, ist dann die Menge Re immer auch ein
> > > Linksideal von R bzw. eR ein Rechtsideal von R?
> Bei dieser Frage bin ich jetzt leider immer noch nicht
> schlauer, ich vermute zwar dass die Antwort auf diese Frage
> JA lautet. Bin mir aber nicht sicher und wäre super
> dankbar, wenn mir dies jemand bestätigen oder widerlegen
> könnte.
> > >
> > > 2) Stellen Linksideale ( Rechtsideale) bzw. zweiseitige
> > > Ideale immer einen Ring dar? Oder haben sie keine
> > > Ringstruktur?
> >
> > Sei (R,+,*) ein Ring
> >
> > Eine Teilmenge U von R heißt ein Unterring von R, wenn U
> > eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und U
> > abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d.h.
> >
> > x [mm]\cdot[/mm] y [mm]\in[/mm] U, wenn x [mm]\in[/mm] U und y [mm]\in[/mm] U .
> >
> > Nun besorge Dir die Definitionen von "Linksideal",
> > "Rechtsideal" und "Ideal" und vergleiche.
>
>
> Ich würde ja sage, dass ein Linksideal selber kein Ring
> ist, da es nur ablgeschlossen ist bezüglich der
> Multiplikation mit Elementen aus dem Ring in der
> entsprechenden Reihenfolge, also wenn R der Ring ist und I
> das Linksideal, dann gilt für alle Ringelemente r und für
> alle Elemente a aus dem Linksideal
> (ra) [mm]\in[/mm] I aber es gilt eben nicht zwangsläufig (ar) [mm]\in[/mm]
> I. Dies wäre aber erforderlich, damit man einen Ring
> vorliegen hat.
Vorsicht. Wir nehmen uns mal a, b [mm] \in [/mm] I her, I sei ein Linksideal.
Weil a [mm] \in [/mm] R ist haben wir: ab [mm] \in [/mm] I
Weil b [mm] \in [/mm] R ist haben wir: ba [mm] \in [/mm] I
Fazit: I ist abgeschlossen bezügl. der Mult.
FRED
> Mit dieser Begründung wären eben Links- und Rechtsideale
> selber keine Ringe, aber ein zweiseitiges Ideal wäre ein
> Ring.
> Stimmt das so?
>
> Gruß, yonca!
> >
> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank schon mal für eure Antworten!
> > > Gruß, Yonca!
> > >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 08.12.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
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> > Ich würde ja sage, dass ein Linksideal selber kein Ring
> > ist, da es nur ablgeschlossen ist bezüglich der
> > Multiplikation mit Elementen aus dem Ring in der
> > entsprechenden Reihenfolge, also wenn R der Ring ist und I
> > das Linksideal, dann gilt für alle Ringelemente r und für
> > alle Elemente a aus dem Linksideal
> > (ra) [mm]\in[/mm] I aber es gilt eben nicht zwangsläufig (ar)
> [mm]\in[/mm]
> > I. Dies wäre aber erforderlich, damit man einen Ring
> > vorliegen hat.
>
> Vorsicht. Wir nehmen uns mal a, b [mm]\in[/mm] I her, I sei ein
> Linksideal.
>
> Weil a [mm]\in[/mm] R ist haben wir: ab [mm]\in[/mm] I
>
> Weil b [mm]\in[/mm] R ist haben wir: ba [mm]\in[/mm] I
>
> Fazit: I ist abgeschlossen bezügl. der Mult.
>
Also, ist sowohl ein Linksideal als auch ein Rechtsideal ein Ring? Stimmt das so?
Kann mir das jemand sagen? Das würde mir wirklich sehr weiterhelfen. Vielen Dank.
Viele Grüße,
Yonca
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> .
> > > Ich würde ja sage, dass ein Linksideal selber kein
> Ring
> > > ist, da es nur ablgeschlossen ist bezüglich der
> > > Multiplikation mit Elementen aus dem Ring in der
> > > entsprechenden Reihenfolge, also wenn R der Ring ist und I
> > > das Linksideal, dann gilt für alle Ringelemente r und für
> > > alle Elemente a aus dem Linksideal
> > > (ra) [mm]\in[/mm] I aber es gilt eben nicht zwangsläufig
> (ar)
> > [mm]\in[/mm]
> > > I. Dies wäre aber erforderlich, damit man einen Ring
> > > vorliegen hat.
> >
> > Vorsicht. Wir nehmen uns mal a, b [mm]\in[/mm] I her, I sei ein
> > Linksideal.
> >
> > Weil a [mm]\in[/mm] R ist haben wir: ab [mm]\in[/mm] I
> >
> > Weil b [mm]\in[/mm] R ist haben wir: ba [mm]\in[/mm] I
> >
> > Fazit: I ist abgeschlossen bezügl. der Mult.
> >
> Also, ist sowohl ein Linksideal als auch ein Rechtsideal
> ein Ring? Stimmt das so?
Ja
FRED
> Kann mir das jemand sagen? Das würde mir wirklich sehr
> weiterhelfen. Vielen Dank.
>
> Viele Grüße,
> Yonca
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Fr 09.12.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
vielen dank für die Antwort. Hat mir wirklich weitergeholfen.
Kann mir vielleicht doch noch jemand einmal sagen, ob jedes idempotente Element e aus einem Ring R ein Linksideal Re bzw. ein Rechtsideal eR erzeugt.
Ich glaube fast, dass die Antwort darauf JA ist. Bin mir aber nicht sicher und weiß auch nicht wie ich dies herausfinden könnte.
Gruß, Yonca
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Fr 09.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen dank für die Antwort. Hat mir wirklich
> weitergeholfen.
>
> Kann mir vielleicht doch noch jemand einmal sagen, ob jedes
> idempotente Element e aus einem Ring R ein Linksideal Re
> bzw. ein Rechtsideal eR erzeugt.
> Ich glaube fast, dass die Antwort darauf JA ist.
So ist es.
> Bin mir
> aber nicht sicher und weiß auch nicht wie ich dies
> herausfinden könnte.
Mit Verlaub, aber das ist nun doch wirklich Pillepalle:
Sei I:=eR
I ist ein Rechtsideal ! Dazu mußt Du doch nur zeigen:
aus a,b [mm] \in [/mm] I und x [mm] \in [/mm] R folgt: a+b [mm] \in [/mm] I und ax [mm] \in [/mm] I.
Mach mal.
FRED
>
> Gruß, Yonca
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Sa 10.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > vielen dank für die Antwort. Hat mir wirklich
> > weitergeholfen.
> >
> > Kann mir vielleicht doch noch jemand einmal sagen, ob jedes
> > idempotente Element e aus einem Ring R ein Linksideal Re
> > bzw. ein Rechtsideal eR erzeugt.
> > Ich glaube fast, dass die Antwort darauf JA ist.
>
> So ist es.
Um das noch zu ergaenzen: das gilt nicht nur fuer idempotente Elemente, sondern fuer beliebige Elemente aus dem Ring. Die Menge $R x$ ist immer ein Linksideal, und die Menge $x R$ ist immer ein Rechtsideal, fuer jedes beliebige Element $x [mm] \in [/mm] R$.
LG Felix
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