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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Mo 17.04.2006 | | Autor: | ActioN |
| Aufgabe | Aufgabe 2:
in der theoretischen Physik wird die folgende Funktion sehr oft benutzt:
g:x -> g(x)= [mm] exp(-\left| x \right|)
[/mm]
Zeige, dass g an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich dachte die Betragsfunktion wäre/ist definiert als:
[mm] |x|:=\begin{cases} -x & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases} [/mm]
Mein Lehrer hat mir in der damaligen Klausur für folgende Überlegung keinen Fehler angestrichen:
g:x -> g(x)= [mm] exp(-\left| x \right|)=\begin{cases} exp(x) & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \\ exp(-x), & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases} [/mm]
Aus heutiger Sicht würde ich allerdings sagen:
g:x -> g(x)= [mm] exp(-\left| x \right|)=\begin{cases} exp(-x) & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \\ exp(-x), & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases} [/mm]
Daher meine Frage:
Wieso ist [mm] exp(-\left| x \right|) [/mm] = exp(x) für x < 0 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 17.04.2006 | | Autor: | crack |
ok, zu deiner frage: das ist desshalb so weil deine "überlegung aus heutiger sicht" nicht ganz richtig ist ;)
...
zu exp(-|x|)
der betrag stellt hier eigentlich nur sicher dass der exponent immer negativ ist.... sowohl für positive als auch für negative x-werte
du darfst das minus nicht getrennt vom betrag betrachten....
für x<0 gilt demnach exp(- (-x)) also exp(x)....
für x>0 folglich exp (-(+x)) also exp(-x)
wenn du in exp(x) x<0 einsetzt kommt immer ein negativer exponent heraus.....
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im übrigen ist exp(-|x|) bei x=0 nicht differenzierbar, da an dieser stelle
die ableitungen einmal eine positive und eine negative Steigung haben....
dies wird auch deutlich wenn du dir den graphen zeichnest (=> Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse)
hoffe es ist nun etwas klarer
mfg
Benny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 17.04.2006 | | Autor: | ActioN |
Hi.
Sorry, ist mir irgendwie immer noch nicht ganz klar:
Du schreibst die Betragsstriche sorgen (zusammen mit dem -) dafür, dass der Exponent immer(!) negativ ist.
Wieso ist er dann für x < 0 positiv ( exp(x) )?
Da besteht für mich ein Widerspruch.
Außerdem sind die Betragstriche so wie du es schreibst doch irgendwie überflüssig..., denn
exp(-x) = exp(x) für x<0 &
exp(-x) = exp(-x) für x>0
Gruß, Alexander
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Hi Alexander,
Ich lass der Einfachheit halber das exp() weg. Für die Überlegung ist das nämlich irrelevant.
Also: [mm] $\left| x \right|$ [/mm] ist (wegen der Eigenschaft der Betragsfunktion) immer positiv, richtig? (Mal abgesehen von $x=0$, aber das tut nichts zur Sache  )
Dann sollte dir einleuchten, warum das Negative davon, nämlich [mm] $-\left| x \right|$, [/mm] immer negativ ist. Die erste Überlegung (für die du keinen Fehler angestrichen bekommen hast) ist daher auch richtig. Auch Benny hatte recht.
Verdeutlichen wir uns das mal an einem Beispiel: die Funktion $g(a) = [mm] -\left| a \right|$. [/mm] Zunächst einmal ein positiver Wert: $a=5$
$g(5) = - [mm] \left| 5 \right| [/mm] = - (5) = -5$
Wie man sieht, ist das Ergebnis negativ.
Jetzt ein negativer Wert: $a=-7$
$g(-7) = - [mm] \left| -7 \right| [/mm] = - (7) = -7 (=g(7))$
Wie du siehst, ist auch dieses Ergebnis negativ.
Ich hoffe, das konnte etwas Licht auf deine Frage bringen 
Viele Grüße,
Michael
P.S.: "exp(-x) = exp(x) für x<0" ist falsch,
denn exp(-x) ist >1 für x<0, und exp(x) ist <1 für x<0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 17.04.2006 | | Autor: | ActioN |
Ok Habs jetzt kapiert ^^
Vielen DanK. Ihr seid echt eine große Hilfe.
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