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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 So 08.07.2007 | | Autor: | data86 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x)=4*e^(-0,5*x) mit x Element R.
1.: Weisen Sie nach, dass der Graph f genau einen Schnittpunkt mit einer der Koordinatenachsen hat.
2.: Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie hin.
3.: Zeichnen Sie den Graphen im Intervall von -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6
4.: Vervollständigen Sie die Wertetabelle:
x:-1;...;...;6
y:...; 6; 3 ;...
5.: Der Graph der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade der Gleichung g(x)=2 begrenzen die Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir haben diese Aufgabe im Unterricht angefangen und sollen sie zu Hause beenden. Sie müsste aus dem sachsen-anhaltinischen Matheabitur von 1996 stammen. Allerdings nur auszugsweise.
Die Aufgaben 1-4 konnte ich soweit lösen - nur mit der fünften Aufgabe tue ich mich schwer. Mein ganzer Sonntag ist heute beim Lösungsversuch draufgegangen...es ist zum Haareraufen.
Ich geb sicherheitshalber mal meine Wertetabelle an - wenn man sich die Fkt skizziert bekommt man ein besseres Verständnis:
x: -1; -0,8; 0,6; 6 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
y:6,6; 6 ; 3 ;0,2;4 ; 2,4 ;1,5 ; 0,9 ; 0,5 ; 0,3
Zuallererst habe ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen f und g berechnet:
f(x)=g(x)
4*e^(-0,5*x) = 2 |:4
e^(-0,5*x) = 0,5 | ln
ln e^(-0,5*x) = ln 0,5
-0,5*x*ln [mm] e^1 [/mm] = ln 0,5 |:ln [mm] e^1 [/mm] |*(-2)
x = (ln 0,5)/(ln [mm] e^1) [/mm] * (-2)
x = 1,39
======
Aufgrund der Zeichnung im angegebenen Intervall habe ich mich entschieden den Flächeninhalt A(gesamt) auf A(1) und A(2) zu bestimmen.
A(1) berechnet sich wie ein Rechteck: x*g(x) = 1,39*2 = 2,78FE
oder mit Hilfe des Integrals: [mm] \int_{0}^{1,39} 2\, dx = 2,78FE [/mm]
Nun der zweite Flächeninhalt A(2):
[mm] \int_{1,39}^{6} 4*e^(-0,5*x)\, dx = 4* \int_{1,39}^{6} e^(-0,5*x)\, dx = 4*[-2*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6}
=[-8*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6}
=-0,4+4=3,6FE [/mm]
===========
So, da liegt mein Problem! Der Wert könnte zwar Pi mal Daumen stimmen, wenn man ihn mit der Zeichnung vergleicht, aber mich macht die -0,4 stutzig. Die würde ja bedeuten, dass die Funktion in den Grenzen von 0 bis 6 einen Flächeninhalt von -0,4 (!!) hätte, oder versteh ich das falsch?
Beim Integrieren bin ich von folgendem Gesetz ausgegangen:
f(x)=a*e^(k*x)
F(x)=(a/k)*e^(k*x)
Es wäre schön, wenn ihr Licht in mein mathematisches Dunkel bringen könntet :)
Shalom
data86
PS: Falls es notwendig sein sollte, kann ich auch meinen Lösungsansatz abscannen und online stellen,
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 08.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zunächst einmal der Graph der Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Zuallererst habe ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen
> f und g berechnet:
> f(x)=g(x)
> 4*e^(-0,5*x) = 2 |:4
> e^(-0,5*x) = 0,5 | ln
> ln e^(-0,5*x) = ln 0,5
> -0,5*x*ln [mm]e^1[/mm] = ln 0,5 |:ln [mm]e^1[/mm] |*(-2)
> x = (ln 0,5)/(ln [mm]e^1)[/mm] * (-2)
> x = 1,39
> ======
>
Hier solltest du eg schreiben: [mm] $x=2\ln(2)$ [/mm] und damit auch weiterrechnen.
>
> Aufgrund der Zeichnung im angegebenen Intervall habe ich
> mich entschieden den Flächeninhalt A(gesamt) auf A(1) und
> A(2) zu bestimmen.
>
> A(1) berechnet sich wie ein Rechteck: x*g(x) = 1,39*2 =
> 2,78FE
> oder mit Hilfe des Integrals: [mm]\int_{0}^{1,39} 2\, dx = 2,78FE[/mm]
Das mit dem Rechteck, ist deutlich geschickter. Dann schreib aber bitte [mm] $A=x*g(x)=2\ln(2)\cdot 2=4\ln(2)$.
[/mm]
>
> Nun der zweite Flächeninhalt A(2):
>
> [mm]\int_{1,39}^{6} 4*e^(-0,5*x)\, dx = 4* \int_{1,39}^{6} e^(-0,5*x)\, dx = 4*[-2*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6}
=[-8*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6}
=-0,4+4=3,6FE[/mm]
>
> ===========
Warum willst du hier bis nach 6 integrieren? Da nach der Fläche gefragt ist, die die Kurve und deine Gerade mit den K.Achsen einschließt, und dein Graph die x-Achse nur asymptotisch nähert, kannst du keine feste Grenze angeben. Du musst die obere Grenze variabel lassen (die du dann meinetwegen b nennen kannst). Dann kannst du hinterher den Grenzwert bestimmen, wenn b gegen Unendlich strebt.
Also solltest du berechnen:
[mm] $A_2=\int_{2\ln(2)}^b{4e^{-0.5x}dx}$
[/mm]
>
> So, da liegt mein Problem! Der Wert könnte zwar Pi mal
> Daumen stimmen, wenn man ihn mit der Zeichnung vergleicht,
> aber mich macht die -0,4 stutzig. Die würde ja bedeuten,
> dass die Funktion in den Grenzen von 0 bis 6 einen
> Flächeninhalt von -0,4 (!!) hätte, oder versteh ich das
> falsch?
Da musst du dich dann verrechnet haben!
Ich bin aber zu faul, mir deine Rechnugn nochmal genau anzusehen, weil der Gedankengang bis zu 6 zu integrieren m.E. falsch ist (wie kommst du darauf?
>
> Beim Integrieren bin ich von folgendem Gesetz ausgegangen:
>
> f(x)=a*e^(k*x)
> F(x)=(a/k)*e^(k*x)
Ja, das ist okay:
[mm] $F'(x)=\frac{a}{k}\cdot [/mm] k [mm] \cdot e^{kx}=f(x)$
[/mm]
>
> Es wäre schön, wenn ihr Licht in mein mathematisches Dunkel
> bringen könntet :)
Ich hoffe, ich habe dir zunächst einmal helfen können=) Bei weiteren Fragen melde dich einfach nochmal=)
>
>
> Shalom
>
> data86
>
> PS: Falls es notwendig sein sollte, kann ich auch meinen
> Lösungsansatz abscannen und online stellen,
>
Danke für das Angebot, aber zunächst ist das nicht erforderlich.
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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