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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 10.01.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | a) Zeigen sie: Für alle z [mm] \in \IC [/mm] und n [mm] \in \IN_{o} [/mm] ist
[mm] |e^{z} [/mm] - [mm] \summe_{v=0}^{n} \bruch{z^{v}}{v!}| \le \bruch{|z|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] e^{|z|}
[/mm]
b) Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \bruch{e-\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{e}< 10^{-16} [/mm] |
Kann mir eventuell jemand helfen? Ich habe keine Ahnung wie ich hier beginnen soll! Danke schon einmal im Vorraus!
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo ulla,
bei deiner Aufgabe hilft es, die Definition der Exponentialfunktion auszugraben: [mm] e^{z}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}
[/mm]
Wenn du nun bei der ersten Aufgabe das für e einsetzt, solltest du schnell zu gewollten Ergebnis kommen: (ob das v jetzt k heißt ist egal)
[mm] |e^z-\summe_{k=0}^{n}\bruch{z^k}{k!}|=|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{z^k}{k!}|=\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}
[/mm]
Das lässt sich leicht auf das abschätzen was du suchst, indem du einfach alle Summanden nach dem (n+1)-ten weglässt.
Und nun zur 2.:
Hier hilft es den Bruch einwenig umzuschreiben, und dann wieder die Definition für die eulersche Zahl selbst auszugraben: [mm] e=\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}
[/mm]
[mm] \bruch{e-\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{e}=1-\bruch{\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{e}=1-\bruch{\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}}< 10^{-16}
[/mm]
Nun kannst du die Ungleichung nach n umstellen.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 10.01.2009 | | Autor: | ulla |
Danke für deine Antwort. Das zu der a) hab ch zwar ´verstanden wie es da steht aber keine Ahnung wie ich weiterverfahren soll, ich kann das nicht anwenden.
zu der b) hab ich mal was ganz anderes:
also: 1- [mm] \bruch{\summe_{v=0}^{n}\bruch{1}{v!}}{\summe_{v=0}{\infty}\bruch{1}{v!}} [/mm] < [mm] 10^{-16}
[/mm]
=> [mm] 1-\bruch{exp(1)}{exp(1)}<10^{-16} [/mm] => 1-1< [mm] 10^{-16}
[/mm]
kann man das auch so schreiben??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | ulla |
zu der a) hab ich mir nun folgendes überlegt:
[mm] |\bruch{z^{n+1}}{(n+1)!}| \le |\bruch{z^{n}+z^{n}}{(n+1)!}| \le |\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] \summe_{k=n+1}^{n} \bruch{z^{n}}{(n+1)!}| \le e^{z} [/mm] * [mm] \bruch{z^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
stimmt das so??
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Ich kann nicht recht nachvollziehen, warum aus dem "+" auf einmal ein "*" wird...
[mm] |e^z-\summe_{k=0}^{n}\bruch{z^k}{k!}|=|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{z^k}{k!}|=\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}
[/mm]
[mm] \bruch{\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}}<\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}=|e^z-\summe_{k=0}^{n}\bruch{z^k}{k!}|
[/mm]
Wenn du jetzt die Summe [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{z^k}{k!} [/mm] ausschreibst steht da:
[mm] =\bruch{z^{n+1}}{(n+1)!}+\bruch{z^{n+2}}{(n+2)!}+...
[/mm]
Wenn du nun alle Summanden bis auf den ertsen wegschätzt, dann steht der gewünschte Ausdruck da!
lg Kai
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Du muss genau hinschauen, bis wohin deine Summe geht.
Es ist ein Unterschied ob man bis n, oder bis [mm] "\infty" [/mm] summiert, wobei letzteres eher komisch vorstellbar ist.
Du kannst nicht einfach alle Summanden, angefangen beim (n+1)ten vergessen. Einfach kürzen geht da nicht.
du kannst aber die Ungleichung umstellen:
[mm] \bruch{e-\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{e}=\bruch{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}}{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}}-\bruch{\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}}=\bruch{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}-\summe_{v=0}^{n} \bruch{1}{v!}}{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}}=\bruch{\summe_{v=n+1}^{\infty} \bruch{1}{v!}}{\summe_{v=0}^{\infty} \bruch{1}{v!}}< 10^{-16} [/mm]
So...Jetzt solltest du eigentlich leicht zum Ziel kommen!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Fox85 |
[mm] |e^z [/mm] - [mm] \summe_{v=0}^{n}\bruch{z^v}{v!}| \le \bruch{|z|^n+1}{(n+1)!} e^|^z^|
[/mm]
[mm] \gdw |\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{z^v}{v!} [/mm] - [mm] \summe_{v=0}^{n}\bruch{z^v}{v!}| \le \bruch{|z|^n^+^1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
[mm] \gdw |\summe_{v=n+1}^{\infty} \bruch{z^v}{v!}\le \bruch{|z|^n^+^1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
Folgende Abschätzung: Da [mm] |\summe_{v=n+1}^{\infty}\bruch{z^v}{v!}|\le \summe_{v=n+1}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!} [/mm] ist es okay, wenn ich zeige:
[mm] \summe_{v=n+1}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!} \le \bruch{|z|^n^+^1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v^+^n^+^1}{(v+n+1)!}\le \bruch{|z|^n+1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v |z|^n^+^1}{(v+n+1)!}\le\bruch{|z|^n+1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
[mm] \gdw |z|^n^+^1 \summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{(v+n+1)!}\le \bruch{|z|^n^+^1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v+n+1)!}\le \bruch{1}{(n+1)!}\summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{(v+n+1)!}\le \summe_{v=0}^{\infty}\bruch{|z|^v}{v!(n+1)!}
[/mm]
Man kann zeigen, dass [mm] (v+n+1)!\ge [/mm] v!(n+1)! (Per Induktion) Denke aber, dass das gar nicht unbedingt nötig ist.
Zu bemerken ist noch, dass wg. Nullteilerfreiheit noch angenommen werden muss, das [mm] |z|^n^+^1 \not= [/mm] 0 ist. Für diesen Fall, wäre die Ungleichung eh trivial.
Gruß Fox
Und dieses Eintippen mit den Formeln is ja mal die Hölle....
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