e-Funktion (Integration, GW) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=x^3*e^{-0,5x^2}.
[/mm]
1. Berechnen Sie für c=3 die Fläche [mm] A(c)=\integral_{0}^{c} f(x)\, [/mm] dx.
2. Untersuchen Sie, ob [mm] \limes_{n \to \pm oo}A(c) [/mm] existiert und bestimmen
Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Bei der ersten Aufgabe, weiß ich, dass die Lösung 1,88 FE beträgt und die Stammfunktion [mm] 2e^{-0,5x^2} (\begin{matrix}
-0,5x^{2} -1)\end{matrix} [/mm] ist. Aber wie ich auf die Stammfunktion komme, ist mir noch ein Geheimnis. Ich habe es mit der Produktintegration versucht, aber das richtige Ergebnis war Meilen entfernt.
Und bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht so richtig, was ich tun muss.
für A(c) habe ich die Stammfunktion mit den Grenzen aufgelöst und benutze nun diese, um den Grenzwert herauszufinden.
Das ist mein Ansatz:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{-c^2-2}{e^{0,5c^2}.}= [/mm] -2 (denn im Zähler [mm] -c^2 [/mm] und im Nenner 0,5 =-2)
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{-c^2-2}{e^{0,5c^2}.}= [/mm] 0 (denn wenn man für c Zahlen einsetzt, strebt das Ergebnis gegen 0)
Das ist doch nicht richtig, oder?
Kann mir bitte jemand helfen?? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 So 18.06.2006 | | Autor: | giskard |
Hallo nussbrecher!
hab mich auch grad mal an die aufgabe drangesetzt, hab aber komischerweise auch ein anderes ergebnis für die integration.... :-/
$ [mm] \integral_{0}^{c}{x^3\cdot{}e^{-0,5x^2} dx} [/mm] $
$ = [mm] \integral_{0}^{c}{-3x\cdot{}e^{-0,5x^2} dx} [/mm] + [mm] x^2\cdot{}e^{-0,5x^2} [/mm] $
$ = [mm] x^2\cdot{}e^{-0,5x^2} [/mm] + [mm] 3\cdot{}e^{-0,5x^2} [/mm] $
$ = [mm] \cdot{}e^{-0,5x^2}(x^2+3) [/mm] $
ist aber falsch, da ich dann eine fläche von -2,99 zwischen 0 und 3 bekomme. bei numerischer integration mit meinem taschenrechner kommt aber auch 1,88 FE raus.... vielleicht weiss ja einer, wo mein fehler liegt!?!
zum grenzwert:
geht man von dem richtigen ergebnis der integration aus, bekomme ich auch den ausdruck:
$ [mm] \limes_{c \to \infty}\bruch{-c^2-2}{e^{0,5c^2}.} [/mm] $
da ist der limes recht einfach zu bestimmen: die e-funktion steigt im unendlichen viel stärker, als die c²-funktion, daher ist der limes des bruches 0. (ich glaube du hast da nur den exponenten im nenner betrachtet, und nicht die gesamte e-funktion.)
ich hoffe, ich habe wenigstens etwas weitergeholfen!
giskard
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Danke, danke, danke!!! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 18.06.2006 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo ihr beiden,
Nachdem ich mich gerade zweimal beim Tippen verrechnet zu haben scheine, hier die Lösung fürs Integral, dafür ist es entscheidend, dass von 0 aus in eine Richtung (in diesem Fall in positive Richtung) integriert wird, da [mm] $x^2$ [/mm] eingeschränkt auf eine Richtung monoton ist:
Substituiere $u = [mm] x^2, \bruch{du}{dx} [/mm] = 2x [mm] \Rightarrow dx=\bruch{du}{2x}$:
[/mm]
[mm] $\integral_{0}^{3}{x^3 e^{-\bruch{x^2}{2}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{9}{x^3 e^{-\bruch{u}{2}} \bruch{du}{2x}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{9}{\bruch{x^2}{2} e^{-\bruch{u}{2}} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{9}{u e^{-\bruch{u}{2}} du} [/mm] = [mm] \underbrace{\cdots}_{rechnen} [/mm] = 2 - [mm] 11e^{-\bruch{9}{2}} \approx [/mm] 1.88$
Den Teil mit den Pünktchen solltest Du selbst hinbekommen können, einmal partiell integrieren und fertig.
greetz
AT-Colt
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Natürlich auch dir ein fettes DAAAANKE. Wäre nie selbst drauf gekommen! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
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