e-Funktion untersuchen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist die Funktion f(x) [mm] e^x*(e^x-2). [/mm] Der Graph von f sei k.
Untersuchen sie K auf SChnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Asymptoten, Extrem- und Wendepunkte. Welche Wertemenge hat k?
Zeichnen sie k.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A die von K, den Koordinatenachsen und der Geraden mit der gleichung x= -e² begrenzt wird. |
Hallo zusammen, ich habe ein ernstes Problem. Ich schreibe am Donnerstag meien Mathe LK Klausur und war aber 2 Wochen richtig krank. In der Zeit kamen diese lustigen e- Funktionen und ich kann nichts.
Ich weiß, dass die Ableitung von [mm] e^x [/mm] immer [mm] e^x [/mm] ist.
Ich weiß auch, dass die gegensätzliche Rechenart davon, das Logarithmieren ist.
Ich kann einige normale Kurven diskutieren.
Aber was fange ich mit e an?
Als erstes soll ich Schnittpunkte berechnen.
Okay.
Also für y einmal x= 0 setzen und für die Nullstellen die Gleichung 0 setzen.
[mm] f(0)=e^0(e^0-2)
[/mm]
f(0) = -2 ???
[mm] e^x*(e^x-2) [/mm] =0
Löse ich jetzt die Klammer auf und bekomme [mm] e^x²-2e^x [/mm] ?
Wie rechne ich dann weiter?
Ich komme mit diesem e nicht zurecht.
bitte um hilfe.
VG Chaosprinzessin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 20.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hallo,
> gegeben ist die Funktion f(x) [mm]e^x*(e^x-2).[/mm] Der Graph von f
> sei k.
>
> Untersuchen sie K auf SChnittpunkte mit den
> Koordinatenachsen, Asymptoten, Extrem- und Wendepunkte.
> Welche Wertemenge hat k?
> Zeichnen sie k.
>
> Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A die von K, den
> Koordinatenachsen und der Geraden mit der gleichung x= -e²
> begrenzt wird.
> Hallo zusammen, ich habe ein ernstes Problem. Ich schreibe
> am Donnerstag meien Mathe LK Klausur und war aber 2 Wochen
> richtig krank. In der Zeit kamen diese lustigen e-
> Funktionen und ich kann nichts.
>
> Ich weiß, dass die Ableitung von [mm]e^x[/mm] immer [mm]e^x[/mm] ist.
>
> Ich weiß auch, dass die gegensätzliche Rechenart davon, das
> Logarithmieren ist.
>
> Ich kann einige normale Kurven diskutieren.
>
>
> Aber was fange ich mit e an?
>
> Als erstes soll ich Schnittpunkte berechnen.
>
> Okay.
>
> Also für y einmal x= 0 setzen und für die Nullstellen die
> Gleichung 0 setzen.
>
> [mm]f(0)=e^0(e^0-2)[/mm]
> f(0) = -2 ???
[mm] e^0 [/mm] = 1 (wie eine andere beliebige Zahl hoch 0)
so f(0) = -1
>
> [mm]e^x*(e^x-2)[/mm] =0
>
> Löse ich jetzt die Klammer auf und bekomme [mm]e^x²-2e^x[/mm] ?
>
> Wie rechne ich dann weiter?
Du brauchst die Klammer nicht auflösen.
[mm] e^x*(e^x-2) [/mm] =0
e ist doch die Zahl 2,71..., also egal bei welcher x, [mm] e^x [/mm] ist immer eine positive Zahl und [mm] \not= [/mm] 0
Also kann die Gleichung so umgeformt werden [mm] e^x-2 [/mm] =0
[mm] e^x [/mm] = 2
Logarithmieren beiden Seiten
[mm] lne^x [/mm] = ln2
x = ln2
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hallo Mary,
und schon hier ist mir was nicht klar.
Warum kann ich wenn ich weiß, dass e positiv ist einfach ein e weglassen?
Ich weiß wie ich normale zahlen oder variablen logarithmiere aber nciht wie ich das bei e mache.
Und dann die Ableitungen, wie leite ich dann ab?
In diesem fall ja mit der Produktregel.
Dann hätte ich, da die Ableitung von [mm] e^x [/mm] immer [mm] e^x [/mm] ist:
[mm] e^x*e^x+(e^x-2)*e^x [/mm] oder?
also [mm] e^x²+e^x²-2e^x [/mm] ?
Ich weiß einfach nciht wie ich mit der Zahl e umgehen soll.
Ich brauche die drei Ableitungen und muss danach die Wende und extrempunkte berechnen.
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> hallo Mary,
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> und schon hier ist mir was nicht klar.
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> Warum kann ich wenn ich weiß, dass e positiv ist einfach
> ein e weglassen?
>
> Ich weiß wie ich normale zahlen oder variablen
> logarithmiere aber nciht wie ich das bei e mache.
>
> Und dann die Ableitungen, wie leite ich dann ab?
>
> In diesem fall ja mit der Produktregel.
>
> Dann hätte ich, da die Ableitung von [mm]e^x[/mm] immer [mm]e^x[/mm] ist:
>
> [mm]e^x*e^x+(e^x-2)*e^x[/mm] oder?
>
> also [mm]e^x²+e^x²-2e^x[/mm] ? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ich weiß einfach nciht wie ich mit der Zahl e umgehen
> soll.
>
> Ich brauche die drei Ableitungen und muss danach die Wende
> und extrempunkte berechnen.
>
>
>
Hallo Chaosprinzessin,
zunächst nochmal zu den Nullstellen,
[mm] e^x\cdot{}(e^x-2)=0.
[/mm]
Dies ist doch ein [mm] \bold{Produkt}. [/mm] Und das ist = 0 genau dann, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren = 0 ist.
Mary hat oben schon erwähnt, dass der erste Faktor [mm] e^x [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] > 0 ist - schau dir mal den Graphen zu [mm] e^x [/mm] an.
Also kann es eine Nullstelle nur geben, wenn der zweite Faktor [mm] e^x-2=0 [/mm] ist
[mm] \gdw e^x=2 [/mm] Hier nun auf beiden Seiten den ln draufhauen
[mm] \gdw ln(e^x)=ln(2) \gdw [/mm] x=ln(2)
Zu den Ableitungen.
Das geht in der Tat mit der Produktregel, dein Ergebnis für die erste Ableitung war richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man kann es aber noch etwas vereinfachen:
[mm] f'(x)=e^{2x}+e^{2x}-2e^x=2(e^{2x}-e^x)
[/mm]
Für die weiteren Ableitung wirst du (auch) die Kettenregel brauchen
Versuch's mal 
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank,
jetzt hab ich das mit den Nullstellen verstanden.
und cih bin froh die Ableitung richtig zu haben, wenn sie denn richtig ist.
Denn bei dir steht e²^x aber ich hatte [mm] e^x [/mm] hoch 2 rausbekommen.
Auf die zweite Ableitung komme ich nicht.
Ein Versuch:
[mm] f"(x)=2ex^x+2ex^x-2e^x=4ex^x-e^x
[/mm]
was mache ich falsch?
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Hey super,
ich bin so frustriert von Mathe , dass ich kaum glaube auch mal was richtig zu machen 
Die konstante hatte ich in der Tat vergessen.
Wäre die dritte Ableitung dann:
[mm] 8e^x-2e^x=6e^x [/mm] ?
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> Hey super,
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> ich bin so frustriert von Mathe , dass ich kaum glaube auch
> mal was richtig zu machen
>
> Die konstante hatte ich in der Tat vergessen.
>
> Wäre die dritte Ableitung dann:
>
> [mm]8e^x-2e^x=6e^x[/mm] ?
Hi, nein, leider nicht,
der zweite Teil bleibt zwar unverändert bei der Ableitung ,
doch der erste wird doch nach der [mm] \bold{Kettenregel} [/mm] abgeleitet:
Du hast [mm] f''(x)=4e^{2x}-2e^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'''(x)=4\cdot{}\red{e^{2x}}\cdot{}\green{2}-2e^x=8e^{2x}-2e^x
[/mm]
rot=äußere Ableitung - da haste was verwurschtelt
grün=innere Ableitung
Gruß
schachuzipus
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Ich verstehe noch nicht warum wir hier die Kettenregel anwenden.
Ich muss doch höchstens die Produktregel anwenden, oder nicht?
Was mich auch verwirrt, mein Lehrer hat uns die lösungen der Aufgaben gegeben (nicht aber den Weg) und er kommt auf andere Ableitungen, oder sind sie nur anders zusammengefasst?
f`(x)= [mm] 2e^x(e^x-1
[/mm]
[mm] f"(x)=2e^x*(2e^x-1)
[/mm]
[mm] f```(x)=2e^x(4e^x-1)
[/mm]
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okay, jetzt kommt es allmählich an bei mir.
Oft sehen die terme so unterschiedlich aus dabei sind sie nur ander aufgeschrieben.
Nun weiß ich, aus früheren Zeiten als Mathe noch leicht war,
dass ich nun mit der NB weiterrechne die da lautet:
f`(x)=0
also: [mm] 2(e^2x-e^x)=0
[/mm]
Muss ich jetzt einfach nach e auflösen, so wie ich sonst immer nach x aufgelöst habe? Oder... moment... kann es sein, dass ich einfach wieder den lg bilden muss um eben irgendwie auf x zu kommen?
Also 2(ln e^2x -ln [mm] e^x) [/mm] = 0 ???
Andererseits, nach dem was du mir oben erklärt hattest, so ist ja eienr der Faktoren eh null, dann ist die NB doch erfüllt, oder?
Und ein extrempunkt bei x=0
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hehe, gemach, gemach,
immer mal zuerst sauber aufschreiben!
also f'(x) war = [mm] 2e^{2x}-e^x [/mm] oder? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
ganz schön langer thread
Da kann man noch was ausklammern, und zwar [mm] e^x
[/mm]
Also [mm] 2e^{2x}-e^x=e^x(2e^x-2)
[/mm]
Ja, ich erinnere mich, das hatten wir angesprochen
So das = 0 setzen, um die Nullstelle(n) der ersten Ableitung zu bestimmen.
Also [mm] e^x(2e^x-2)=0
[/mm]
Da wir ein Produkt haben und [mm] e^x [/mm] - also der erste Faktor nie nimmer niemals für kein x der Welt nicht 0 wird, müssen wir gucken, wann der 2te Faktor [mm] e^x-2 [/mm] Null wird.
Also [mm] e^x-2=0 \gdw e^x=2 [/mm] Da den natürlichen Logarithmus (ln) drauf loslassen (ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion)
[mm] \Rightarrow ln(e^x)=ln(2) \gdw [/mm] x=ln(2)
Ha, da haben wir einen Kandidaten für eine Extremstelle
Was musst du nun weiter nachprüfen?
LG
schachuzipus
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Ne, unsere erste Ableitung war mit Klammer, also [mm] 2(e^2x-e^x)
[/mm]
Stimmt, ich vergesse immer dass [mm] e^x [/mm] eine feste Zahl ist... kann also nicht 0 werden
muss ich den Logarithmus eigentlich auch ausrechnen? Also ln 2 in den TR eintippen oder kann ich das immer so stehen lassen?
Als nächstes muss ich mit der HB prüfen ob auch wirklich eien extremstelle vorhanden ist. denn die NB gibt uns keinen ausreichenden hinweis, da es sich auch um einen Sattelpunkt handeln kann.
nun muss ich also mein ergebnis, in die 2. Ableitung eintragen um festzustellen, ob das Ergebnis dann < oder> 0 ist.
Oder?
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Das ist hier schon recht unübersichtlich, aber direkt im 2ten post von Mary steht schon, dass die erste Ableitung [mm] f'(x)=e^x(e^x-2) [/mm] ist.
Schau nochmal nach, was du da geschrieben hast, würde auch nicht zu unerer 2ten und 3ten Ableitung passen
Und den ln musst du nicht in den TR eintippen, es sei denn, du willst einen Näherungswert haben - für die Zeichnung des Graphen o.ä.
Aber Lehrer (und ich denke auch Lehrerinnen) sind eher erpicht auf genaue Ergebnisse, also x=ln(2) als potentieller Exrempunkt ist die genauest mögliche Angabe
Und ja, um zu prüfen, ob an der Stelle x=ln(2) nun wirklich ein Extremum vorliegt, in f'' einsetzen.
Und Gas
Gruß
schachuzipus
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Ja es ist in der Tat unübersichtlich geworden und ich komme langsam ein wenig durcheinander.
f"(ln2)= [mm] 4e^2(ln2)-2e^ln2 [/mm] ?
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Ach, die Formeln werden wieder im Schneckentempo erstellt,
benutze lieber die "ausgeklammerte" Version von f''(x)
[mm] f''(x)=4e^{2x}-2e^x=2e^x(2e^x-1)
[/mm]
Also [mm] f''(ln(2))=2e^{ln(2)}(2e^{ln(2)}-1)=2\cdot{}2(2\cdot{}2-1)=4\cdot{}3=12>0 \Rightarrow [/mm] wir haben einen Tiefpunkt.
Also schnell x=ln(2) in f eingesetzt und die y-Koordinate des TP ausgerechnet
LG
schachuzipus
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y= e^ln2(e^ln2-2) ?
Was ich merke was ich nicht kann, ist diese e`s und lg`s dann in zahlen zu "verwandeln".
du kriegst da plötzlich Zahlen mit denen du rechnen kannst, aber wie?
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ln und die e-Funktion sind Umkehrabbildungen, dh, sie heben sich sozusagen gegenseitig auf, dh
[mm] ln(e^5)=5
[/mm]
ebenso [mm] e^{ln(5)}=5
[/mm]
Wenn du also eine Gleichung der Art [mm] e^{5x}=4 [/mm] hast, so lässt du wegen der e-Funktion den ln drauf los, denn der "neutralisiert" die e-Fkt
also [mm] ln(e^{5x})=ln(4) [/mm] [immer auf BEIDEN Seiten anwenden, die Rechenoperationen!!]
[mm] \Rightarrow [/mm] 5x=ln(4) [mm] \Rightarrow x=\bruch{ln(4)}{5}
[/mm]
Ach Mist, diese Unübersichtlichkeit. Kacke, wir haben die falsche erste Ableitung genommen *heul*
die erste Ableitung war [mm] f'(x)=2e^x(e^x-1)
[/mm]
Deren Nullstelle f'(x)=0 [mm] \gdw 2e^x(e^x-1)=0 \gdw e^x-1=0 [/mm] , da [mm] e^x [/mm] immer [mm] \ne [/mm] 0 und damit auch [mm] 2e^x
[/mm]
also [mm] e^x-1=0 \gdw e^x=1 \gdw ln(e^x)=ln(1)\gdw [/mm] x=ln(1)=0
Also Kandidat für die Extremstelle ist x=0
[mm] f''(x)=2e^x(2e^x-1) \Rightarrow f''(0)=2e^0(2e^0-1)=2(2-1)=2>0, [/mm] also doch ein TP
Nun [mm] f(0)=e^0(e^0-1)=1(1-1)=1\cdot{}0=0
[/mm]
Also haben wir den TP(0/0)
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") aber das habe ich zu dieser späten Std leider übersehen
Bis dann
schachuzipus
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Bis dann schachuzipus.
Ach sooooo verhält sich das beim rechnen mit e und lg.... ja warum sagt das denn keiner? Supi! jetzt wird noch mehr klar!
Wir haben sicher noch was übersehen, mein lehrer kommt nämlich auf den TP (0/-1)
danke für deine Hilfe!
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ja ich bin dumm
die Funktion war ja [mm] f(x)=e^x(e^x-\red{2}) [/mm] und nicht [mm] e^x(e^x-1)
[/mm]
Wenn man das in die richtige Funktion einsetzt, hat man auch [mm] f(0)=e^0(e^0-2)=1(1-2)=1\cdot{}(-1)=-1
[/mm]
Da hat der Lehrer Recht
Nochmal
Mann Mann
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Ich pack dir mal den Graphen der Funktion in den Anhang, dann ist das etwas übersichtliche
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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dankeschön, der sieht ja ganz simpel aus und dafür soviel rechnerei???
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Jo,
es bleiben also noch evtl. Wendepiunkte zu berechnen
Aber nicht mehr heute.
Ich schau morgen wieder rein.
Gruß und n8
schachuzipus
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kann dir als Newbie keine mail senden.
Ich komme auch aus Köln und wohne sogar unweit der Uni, sag mal, gibst du auch Nachhilfe?
Und... hast du zufällig donnerstag Zeit?
Ich glaube dass ich es durch dich gut verstehe...
es wäre auch längerfristig also nicht nur für die Klausur jetzt sondern regelmäßiger, bezahlt natürlich...
LG chaosprinzessin
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