e-delta Definition Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie zeigt man dass f:[-1,1] \ [mm] \{0\} \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x} [/mm] im Punkt p stetig ist?
Mein Lösungsansatz war folgender:
[mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{p}|=| \bruch{|p-x|}{|xp|} \le \delta \bruch{1}{|xp|} [/mm] ..... wie geht man hier wieter vor, klar ist , dass man einen Ausdruckbekommen sollte, der nicht von x abhängt. Wie macht man so was?
Schöne Grüße
Igor
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> Hallo,
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> wie zeigt man dass f:[-1,1] [mm]\0 \to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x}[/mm]
> im Punkt p stetig ist?
> Mein Lösungsansatz war folgender:
>
> [mm]|\bruch{1}{x}-\bruch{1}{p}|=| \bruch{|p-x|}{|xp|} \le \delta \bruch{1}{|xp|}[/mm]
> ..... wie geht man hier wieter vor, klar ist , dass man
> einen Ausdruckbekommen sollte, der nicht von x abhängt. Wie
> macht man so was?
Es ist klar, dass wenn Du $x$ genügend nahe bei $0$ wählst, der Bruch [mm] $\frac{1}{|x\cdot p|}$ [/mm] beliebig grosse Werte annehmen kann. Um sicherzustellen, dass dies nicht geschehen kann, musst Du $x$ genügend nahe bei $p$ wählen, dann kannst Du den Betrag von $|x|$ nach unten beschränken und daher auch den Betrag von [mm] $\frac{1}{|x\cdot p|}$ [/mm] nach oben beschränken.
Wenn wir z.B von vornherein unser [mm] $\delta>0$ [/mm] mindestens so klein (aber vieleicht, je nach weiterem Bedarf, noch kleiner) wählen, dass für alle $x$ mit [mm] $|x-p|<\delta$ [/mm] auch $|p-x| < [mm] \frac{|p|}{2}$ [/mm] gilt (d.h. mit anderen Worten, wenn wir [mm] $\delta \leq \frac{|p|}{2}$ [/mm] wählen), dann folgt doch [mm] $|x|>\frac{|p|}{2}$ [/mm] und daher
[mm] [center]$\frac{1}{|x\cdot p|} [/mm] = [mm] \frac{1}{|x|\cdot|p|} [/mm] < [mm] \frac{1}{\frac{|p|}{2}\cdot |p|} [/mm] = [mm] \frac{2}{|p|^2}$[/center]
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 10.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Somebody !
Danke sehr für die hilfreiche Antwort!
Bei dem letzten Schritt: [mm] |x|>\bruch{|p|}{2} [/mm] , wie kommt man darauf?
Schöne Grüße
Igor
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> Hallo Somebody !
>
> Danke sehr für die hilfreiche Antwort!
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> Bei dem letzten Schritt: [mm]|x|>\bruch{|p|}{2}[/mm] , wie kommt man
> darauf?
Also "wie man darauf kommt" ist, denke ich, rein anschaulich: wenn $x$ auf der reellen Geraden weniger als [mm] $\frac{|p|}{2}$ [/mm] von $p$ entfernt ist, muss $x$ mehr als [mm] $\frac{|p|}{2}$ [/mm] von $0$ entfernt sein (Skizze?).
Wie man dies formal rechtfertigt ist wieder eine andere Frage. Vermutlich mittels Dreiecksungleichung, etwa so (wobei wir also verwenden, dass [mm] $|p-x|<\delta \leq \frac{|p|}{2}$ [/mm] ist):
[mm]\begin{array}{rcl}
|p| &=&|(p-x)+x|\\
&\leq& |p-x|+|x|\\
|p|-|p-x| &\leq& |x|\\
|p|-\frac{|p|}{2} &<& |x|\\
\frac{|p|}{2} & <& |x|
\end{array}[/mm]
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> [mm]|p-x|<\delta \leq \frac{|p|}{2}[/mm]
Hallo,
dieser Schritt
> |p|-|p-x| [mm] \le [/mm] |x|
> [mm] |p|-\frac{|p|}{2}< [/mm] |x|
ist nicht richtig,
denn wg. [mm] |p-x|<\frac{|p|}{2}
[/mm]
ist [mm] -|p-x|>-\frac{|p|}{2},
[/mm]
also ist |p|-|p-x| [mm] >|p|-\frac{|p|}{2} [/mm] und die Abschätzung klappt nicht. (Ich habe allerdings die "Vorgeschichte" nicht studiert.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Di 10.07.2007 | | Autor: | statler |
> (Ich habe allerdings die "Vorgeschichte"
> nicht studiert.)
Hallo Angela, das hättest du aber tun sollen  , denn so wie die ursprüngliche Aufgabe dasteht, ist die Behauptung falsch bzw. f nicht definiert.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Di 10.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
Was meinst Du damit, dass f nicht definiert ist ?
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> Was meinst Du damit, dass f nicht definiert ist ?
Hallo,
Du schreibst in Deinem Eingangspost, daß Du zeigen möchtest, daß
f:[-1,1] [mm] \to \IR [/mm]
[mm] f(x):=\bruch{1}{x} [/mm]
stetig ist.
Deine "Funktion" hat jedoch einen Schönheitsfehler: an der Stelle 0, welche in Deinem Definitionsbereich liegt, ist f gar nicht definiert! (Durch 0 teilen dürfen wir ja nicht.)
Über eine "Funktion" nachzudenken, die nicht definiert ist, ist sinnlos.
Sinnvoll wäre das Nachdenken über f:[-1,1] \ [mm] \{0\} \to \IR [/mm]
[mm] f(x):=\bruch{1}{x} [/mm] .
Ich habe gerade im Quelltext geguckt. Das wolltest Du ja auch tun, der Formeleditor hat Dir lediglich einen Streich gespielt.
Insofern sollte das mit definiert und nicht definiert jetzt geklärt sein. Ich hab's jetzt im Eingangspost korrigiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Di 10.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Was meinst Du damit, dass f nicht definiert ist ?
>
> Hallo,
>
> Du schreibst in Deinem Eingangspost, daß Du zeigen
> möchtest, daß
>
> f:[-1,1] [mm]\to \IR[/mm]
> [mm]f(x):=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> stetig ist.
>
> Deine "Funktion" hat jedoch einen Schönheitsfehler: an der
> Stelle 0, welche in Deinem Definitionsbereich liegt, ist f
> gar nicht definiert! (Durch 0 teilen dürfen wir ja nicht.)
>
> Über eine "Funktion" nachzudenken, die nicht definiert ist,
> ist sinnlos.
Für mich war nur seine Frage nach dem Vorgehen beim Abschätzen des [mm] $\frac{1}{|xp|}$-Terms [/mm] von Interesse. Insofern wäre ein solcher nachträglicher bruh-ha-ha Effekt, von wegen $f$ sei ja gar nicht definiert, für die Substanz dessen, was wir diskutiert hatten, überhaupt nicht relevant.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Di 10.07.2007 | | Autor: | Somebody |
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> > [mm]|p-x|<\delta \leq \frac{|p|}{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> dieser Schritt
> > |p|-|p-x| [mm]\le[/mm] |x|
> > [mm]|p|-\frac{|p|}{2}<[/mm] |x|
> ist nicht richtig,
Verstehe ich nicht. Wir sind uns einig, dass gilt [mm] $|p|-|p-x|\leq [/mm] |x|$ oder? Des weiteren haben wir (siehe Vorgeschichte) angenommen, dass [mm] $|p-x|<\frac{|p|}{2}$ [/mm] gilt. Und nun willst Du behaupten, dass, falls ich von $|p|$ etwas grösseres als $|p-x|$, nämlich [mm] $\frac{|p|}{2}$, [/mm] subtrahiere, nicht etwas kleineres erhalte, so dass dann [mm] $|p|-\frac{|p|}{2} [/mm] < |x|$ gilt? - Das kann ich nun beim besten Willen nicht nachvollziehen.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:08 Di 10.07.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
nach Somebody's Hinweis senke ich reumütig mein Haupt und korrigiere meine Abschätzung:
> > [mm]|p-x|<\delta \leq \frac{|p|}{2}[/mm]
>
> Hallo,
>
> dieser Schritt
> > |p|-|p-x| [mm]\le[/mm] |x|
> > [mm]|p|-\frac{|p|}{2}<[/mm] |x|
> ist nicht richtig,
ist völlig richtig.
> denn wg. [mm]|p-x|<\frac{|p|}{2}[/mm]
> ist [mm]-|p-x|>-\frac{|p|}{2},[/mm]
>
> also ist |p|-|p-x| [mm]>|p|-\frac{|p|}{2}[/mm] und die Abschätzung
> klappt nicht.
klappt hervorragend, denn man hat [mm] |x|\ge [/mm] |p|-|p-x| [mm][mm] >|p|-\frac{|p|}{2}.
[/mm]
Entschuldigung, das Drehen des Ungleichheitszeichens war zu schwierig für mich.
Gruß v. Angela
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Hallo,
da mir noch nicht alles geklärt zu sein scheint, möchte ich die Sache jetzt zum Abschluß bringen.
Es geht um die Stetigkeit von
f:[-1,1] \ $ [mm] \{0\} \to \IR [/mm] $
x $ [mm] \mapsto \bruch{1}{x} [/mm] $ .
Die Funktion hat ja zwei Zweige, den positiven und den negativen.
Wir betrachten jetzt den Bereich ]0,1], die Betrachtung fürs andere Intervall funktioniert analog.
Man gibt ja ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor, und braucht ein passendes [mm] \delta.
[/mm]
Somebody hat ja schon erklärt, daß man es so wählen muß, daß die x, die in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] von p liegen, "dicht genug" an p liegen. Er schlug vor, das [mm] \delta [/mm] so zu wählen, daß x höchstens [mm] \bruch{p}{2} [/mm] von p entfernt liegt, was zur Folge hat, daß [mm] x>\bruch{p}{2}ist.
[/mm]
Er erwähnte auch, daß das [mm] \delta [/mm] möglicherweise noch kleiner sein muß.
Sei also
[mm] \varepsilon>0. [/mm] Wir wählen [mm] \delta:=min \{\bruch{p}{2}, ?\} [/mm] (Das ? können wir uns später überlegen.)
Du hattest schon
Für alle x mit [mm] |p-x|<\delta [/mm] gilt
> $ [mm] |\bruch{1}{x}-\bruch{1}{p}|=| \bruch{|p-x|}{|xp|} \le \delta \bruch{1}{|xp|} [/mm] $ .
Hier schätzen wir nun weiter ab:
[mm] \delta \bruch{1}{|xp|}=\delta \bruch{1}{xp}, [/mm] denn wir sind im Moment im positiven Bereich
[mm] <\delta \bruch{1}{\bruch{p}{2}p}, [/mm] denn nach Wahl unseres [mm] \delta [/mm] ist [mm] x>\bruch{p}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{2\delta}{p^2} [/mm]
So - kurze Pause zum Überlegen. Jetzt sind wir an dem Punkt, an welchem wir das [mm] \delta [/mm] endgültig wählen, an welchem wir uns entscheiden, was wir für ? nehmen: ich wähle ?:= [mm] \bruch{p^2\varepsilon}{2}. [/mm] Warum? Weil's funktioniert!!!
[mm] ...<\bruch{2\bruch{p^2\varepsilon}{2}}{p^2}=\varepsilon.
[/mm]
Nun sollte sich die Abschätzung, die Du nicht verstanden hattest (und ich bemängelt) geklärt haben.
Die analoge Untersuchung mußt Du nun noch im Intervall [-1,0[ durchführen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Di 10.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Nun sollte sich die Abschätzung, die Du nicht verstanden
> hattest (und ich bemängelt) geklärt haben.
Wobei ich es mir nicht verkneifen kann anzumerken, dass ich Deine Bemängelung inzwischen ebenfalls bemängelt habe. (Siehe entsprechende Mitteilung als Reaktion auf Deine Mängelrüge.) Ich habe in diesem Forum sicher schon so manchen betrüblichen Unsinn gefaselt, aber die Abschätzung, die Du bemängelt hattest, war absolut in Ordnung.
>
> Die analoge Untersuchung mußt Du nun noch im Intervall
> [-1,0[ durchführen.
Diese Fallunterscheidung ist eben, wenn man so vorgeht, wie ich es vorgeschlagen hatte, nämlich einfach [mm] $|p-x|<\frac{|p|}{2}$ [/mm] zu erzwingen, indem man [mm] $\delta \leq\frac{|p|}{2}$ [/mm] wählt, überhaupt nicht nötig.
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