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| Aufgabe | bestimme die ableitung der e-fuznktion
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x+h}-e^{x}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x} e^{h}-e^{x}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x} (e^{h}-1}{h}
[/mm]
[mm] =e^{x} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{h}-1}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{h}-1}{h} [/mm] muss ja gegen 1 laufen.. hat jm einen tipp wie man hier noch geschickt umformen kann?
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> bestimme die ableitung der e-fuznktion
Hallo,
???
Du meinst [mm] f(x)=2^x, [/mm] oder?
Ich würde hier nicht mit der h-Methode arbeiten.
Sicher kennst Du die Kettenregel und die e-Funktion.
Schreib Dir [mm] f(x)=2^x [/mm] um zu [mm] f(x)=e^{...}, [/mm] und arbeite mit der Kettenregel.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{x+h}-2^{x}}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{x} 2^{h}-2^{x}}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{x} (2^{h}-1}{h}[/mm]
>
> [mm]=2^{x} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{h}-1}{h}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{h}-1}{h}[/mm] muss ja gegen
> 1 laufen..
Warum? Wie kommst Du darauf? (Es stimmt nicht).
Gruß v. Angela
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> > bestimme die ableitung der e-fuznktion
>
> Hallo,
>
> ???
oups........ ich meine natürlich e!!!!!! wieso sich die 2 eingeschlichen hat, keine ahunung^^
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
> > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x+h}-e^{x}}{h}[/mm]
> > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x} e^{h}-e^{x}}{h}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x} (e^{h}-1}{h}[/mm]
> >
> > [mm]=e^{x} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{h}-1}{h}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{h}-1}{h}[/mm] muss ja gegen
> > 1 laufen..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Do 20.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Der Ansatz mit dem Differenzenquotienten ist hier nicht ganz angebracht.
Ich würd mit der Exponentialreihe arbeiten:
exp'(x)
[mm] =(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!})'
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}k\bruch{x^{(k-1)}}{k!})
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{(k-1)}}{(k-1)!} [/mm]
das kannst du jetzt umindizieren, da der Summand für k=0 gleich 0 wird.
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm]
=exp(x)
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> Der Ansatz mit dem Differenzenquotienten ist hier nicht
> ganz angebracht.
> Ich würd mit der Exponentialreihe arbeiten:
>
> exp'(x)
> [mm]=(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!})'[/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}k\bruch{x^{(k-1)}}{k!})[/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{(k-1)}}{(k-1)!}[/mm]
> das kannst du jetzt umindizieren, da der Summand für k=0
> gleich 0 wird.
k=0, dann hab ich oben doch [mm] x^{(-1)} [/mm] und unten
-1! dastehen... ist das denn überhaupt definiert?!?!
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}[/mm]
> =exp(x)
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> > exp'(x)
> > [mm]=(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!})'[/mm]
> > [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}k\bruch{x^{(k-1)}}{k!})[/mm]
> > [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{(k-1)}}{(k-1)!}[/mm]
> > das kannst du jetzt umindizieren, da der Summand für k=0
> > gleich 0 wird.
>
> k=0, dann hab ich oben doch [mm]x^{(-1)}[/mm] und unten
> -1! dastehen... ist das denn überhaupt definiert?!?!
Hallo,
ich meine: nein.
Man kann das Problem natürlich umgehen indem man schreibt
[mm] e^x= 1+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}
[/mm]
und dann ableitet.
Das Grundproblem bleibt: ich glaube nicht, daß Ihr bereits hattet, daß man die potenzreihe gleidweise differenzieren darf.
Gruß v. Angela
>
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> > [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!}[/mm]
> > =exp(x)
>
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> Der Ansatz mit dem Differenzenquotienten ist hier nicht
> ganz angebracht.
> Ich würd mit der Exponentialreihe arbeiten:
>
> exp'(x)
> [mm]=(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!})'[/mm]
Hallo,
die Idee hat einen Schönheitsfehler.
Um das zu tun, muß man erstmal wissen, daß man Potenzreihen so ableiten darf, und das weiß der weihnachtsman bestimmt noch nicht gelernt, das kommt ja deutlich später.
Gruß v. Angela
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> oups........ ich meine natürlich e!!!!!!
Achso.
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{h}-1}{h}[/mm] muss ja gegen
> > > 1 laufen..
Was "richtig" Einfaches fällt mir nicht ein.
Man kann mit der Abschätzung des Restgliedes der Exponentialreihe arbeiten, das hattet Ihr bestimmt, schau mal nach.
Es gilt
[mm] e^h= \summe_{i=0}^{n}\bruch{h^i}{i!} [/mm] + [mm] r_{n+1}(h)
[/mm]
mit [mm] |r_{n+1}(h)|<2\bruch{|h|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] für [mm] |h|<1+\bruch{n}{2}
[/mm]
(Glaub' bitte nicht, daß ich das auswendig weiß, ich habe nachgeschaut...)
Für n=1 hat man
[mm] e^h=1+h +r_2(h), [/mm] also [mm] |e^h-1-h|<|h|^2,
[/mm]
also
[mm] |\bruch{e^h-1}{h}-1|<|h|.
[/mm]
Hieraus folgt dann, daß [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^h-1}{h}=1 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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>
> Man kann mit der Abschätzung des Restgliedes der
> Exponentialreihe arbeiten, das hattet Ihr bestimmt, schau
> mal nach.
>
ne dass hatten wir leider noch nicht....
aber auf dem aufgabenzettel ist eine Aufgabe, die so sachen beinhaltet, die du so geschrieben hast:
Beweisen Sie, dass
[mm] |\bruch{E(x)-1}{x}-1| \le \bruch{1}{2} \bruch{|x|}{(1-|x|}
[/mm]
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> aber auf dem aufgabenzettel ist eine Aufgabe, die so sachen
> beinhaltet, die du so geschrieben hast:
> Beweisen Sie, dass
> [mm]|\bruch{E(x)-1}{x}-1| \le \bruch{1}{2} \bruch{|x|}{(1-|x|}[/mm]
Ah, prima, das kannst Du verwenden.
Denn es folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}|\bruch{E(x)-1}{x}-1|\le \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{2} \bruch{|x|}{(1-|x|}=0
[/mm]
[mm] ==>\limes_{n\rightarrow 0}(\bruch{E(x)-1}{x})=1, [/mm] genau Dein benötigtes Resultat.
Gruß v. Angela
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> [mm][mm] \limes_{n\rightarrow 0}|\bruch{E(x)-1}{x}-1|\le \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{2} \bruch{|x|}{(1-|x|}=0
[/mm]
--->noch ne frage, kann man die betragsstriche auf der linken seite einfach so weglassen? und dass [mm] \le [/mm] einfach in ein = umwandeln?<------
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> [mm] >\limes_{n\rightarrow 0}|\bruch{E(x)-1}{x}-1|\le \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{2} \bruch{|x|}{(1-|x|}=0
[/mm]
> woher weiß ich , dass der rechte teil gleich null ist?
> oups, hab übersehen, dass du da den limes mit eingebracht
> hast, du meinst aber wahrscheinlich x [mm]\to[/mm] 0 und nicht n
> oder?^^
Klar, ein Fehlerchen beim kopieren.
Gruß v. Angela
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> > [mm][mm]\limes_{n\rightarrow 0}|\bruch{E(x)-1}{x}-1|\le \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{1}{2} \bruch{|x|}{(1-|x|}=0[/mm]
--->noch ne frage, kann man die betragsstriche auf der linken seite einfach so weglassen? und dass [mm]\le[/mm] einfach in ein = umwandeln?<------
Die linke Seite ist sicher ge 0.
Nun soll sie gleichzeitig [mm] \le [/mm] 0 sein.
Also muß sie =0 sein.
Man hat also [mm] \limes_{n\rightarrow 0}|\bruch{E(x)-1}{x}-1|=0
[/mm]
Dann kann
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}(\bruch{E(x)-1}{x}-1) [/mm] ja nicht -73 sein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 20.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich habe das schon mal irgendwo hergeleitet, mal gucken ob ich es nochmal zusammenkriege ;)
Ich bin von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e [/mm] ausgegangen.
Eine andere Schreibweise dafür wäre
[mm] \limes_{a\rightarrow0}(1+a)^{\bruch{1}{a}}=e
[/mm]
(In beiden Fällen geht der 2. Summand in der Klammer gegen 0 und der Exponent gegen [mm] \infty)
[/mm]
Etwas umgeformt erhälst du:
[mm] \bruch{e^a-1}{a}=1 [/mm] (gilt nur, wenn a gegen 0 strebt)
Also: [mm] \limes_{a\rightarrow0}\bruch{e^a-1}{a}=1
[/mm]
Ansonsten würde mir nur L'Hospital einfallen.
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> [mm]\limes_{a\rightarrow0}(1+a)^{\bruch{1}{a}}=e[/mm]
>
> Etwas umgeformt erhälst du:
>
> [mm]\bruch{e^a-1}{a}=1[/mm] (gilt nur, wenn a gegen 0 strebt)
Hallo,
ist diese Umformung nicht etwas gewagt?
Wie begründest Du sie?
Gruß v. Angela
P:S: l'Hospital ist eine schlechte Idee, glaube ich.
Da brauchen wir ja die Ableitung, die wir gerade berechnen wollen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Do 20.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, angela :)
Wenn man sich bei der oberen Gleichung das lim wegdenkt (das stört etwas beim Umformen), dann stimmt diese ja auch nur, wenn a gegen 0 strebt, was man auch im Hinterkopf behalten sollte.
Dann zur 2. Gleichung hin hab ich nur etwas umgeformt und die Bedignung "nur wenn a gegen 0 strebt" habe ich dann zurück in den Limes verwandelt.
Besser könnte ich es leider grad nicht begründen.
PS: Auch wieder war ;) sorry.
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> Wenn man sich bei der oberen Gleichung das lim wegdenkt
> (das stört etwas beim Umformen)
Ja, genau da ist der Casus knacktus: es fällt mir nichts ein, das uns erlaubt, uns den limes grad mal so eben wegzudenken.
Gruß v. Angela
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Betrachtet man allgemein die Funktion [mm] f(x)=a^x [/mm] mit a>0 und a [mm] \not= [/mm] 1, so ergibt sich:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{x+h}-a^{x}}{h}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{x} a^{h}-a^{x}}{h}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{x} (a^{h}-1)}{h}[/mm]
[mm]=a^{x} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{h}-1}{h}[/mm]
Der Faktor
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{h}-1}{h}[/mm]
ist aber ein fester, von a abhängiger Wert. Mit Hilfe eines Taschenrechners kann man feststellen, dass er für a=2 kleiner und für a=3 größer als 1 ist.
Dasjenige a, für das dieser Limes den Wert 1 ergibt, nennt man e. Es ergibt sich durch Intervallschachtelung und numerisches Ausprobieren, dass e [mm] \approx [/mm] 2,71828... ist.
Damit erhält man nun die Ableitung von [mm] e^x [/mm] zu [mm] e^x.
[/mm]
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> Dasjenige a, für das dieser Limes den Wert 1 ergibt, nennt
> man e.
> Damit erhält man nun die Ableitung von [mm]e^x[/mm] zu [mm]e^x.[/mm]
Hallo,
Du berechnest hier aber nicht die Ableitung von [mm] f(x):=e^x, [/mm] sondern Du tust etwas anderes:
Du definierst die e-Funktion, indem Du sagst: das ist die Funktion f, für welche f=f'.
Das ist eine der Möglichkeiten, die e-Funktion zu definieren.
weihnachtsmans Aufgabe war aber eine andere: er hat eine Def. der e-Funktion gegeben, und er soll nun die Ableitung der Funktion bestimmen.
Gruß v. Angela
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