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| Aufgabe | bereche [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] in dezimaldarstellung bis auf einen Fehler [mm] \le \bruch{1}{100}
[/mm]
Tipp: [mm] x<1+\bruch{n}{2} \Rightarrow \summe_{k=n+1}^{oo}\bruch{x^k}{k!} [/mm] < [mm] 2\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] |
bis auf einen Fehler <r 1/100 bedeutet doch die 3. Zahl hinter dem Komma runden, oder?
[mm] e^{1/3}= \summe_{k=n}^{oo}\bruch{(1/3)^k}{k!}=\summe_{k=n}^{oo}\bruch{1}{3^{n}n!}
[/mm]
Ich verstehe irgendwie was ich hier genau berechnene soll, soll ich einzelne glieder der summe berechen? irgendwie weiß ich auch nicht wozu ich den tipp benutzen sollte, da ist ja noch ein x drinn, soll ich also gar nicht [mm] \bruch{1}{3} [/mm] für x einsetzen? kann mir jm einen starttipp geben? wäre sehr dankbar dafür!! ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ganz präzise ist ja [mm] $e^{\frac{1}{3}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k k!}$
[/mm]
Diese Reihe ist natürlich konvergent (das sollte Dir klar sein), sonst würde das auch keinen Sinn machen. Wenn man nun ein festes $N [mm] \in \IN$ [/mm] hat, so gilt:
[mm] $e^{\frac{1}{3}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k k!}=\sum_{k=0}^N \frac{1}{3^k k!}+\sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{3^k k!}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\vmat{e^{\frac{1}{3}}-\sum_{k=0}^N \frac{1}{3^k k!}}=e^{\frac{1}{3}}-\sum_{k=0}^N \frac{1}{3^k k!}=\sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{3^k k!}$
[/mm]
D.h. in Deiner Aufgabe soll die "Restreihe" (das Restglied) auf der rechten Seite mit einem $N$ so gewählt sein, dass sie [mm] $\le \frac{1}{100}$ [/mm] ist.
Der Tipp gilt natürlich insbesondere für [mm] $x=\frac{1}{3}$, [/mm] und wegen [mm] $\frac{1}{3} [/mm] < 1 [mm] \le 1+\frac{n}{2}$ [/mm] FÜR ALLE $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] kannst Du im Falle [mm] $x=\frac{1}{3}$ [/mm] die Abschätzung sogar für ALLE $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] benutzen.
Und wenn Du für die rechte Seite des Tipps im Falle [mm] $x=\frac{1}{3}$ [/mm] ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so gefunden hast, dass sie [mm] $\le \frac{1}{100}$ [/mm] ist, dann folgt das natürlich auch für das Restglied Deiner Reihe.
Am Ende bleibt dann nur noch, für das gefundene $N$ dann:
[mm] $\sum_{k=0}^N \frac{1}{3^k k!}$
[/mm]
auszurechnen und in Dezimaldarstellung anzugeben.
Gruß,
Marcel
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hallo danke für deine schnelle antwort? noch eine kurze frage, wieso setzt du denn die betragsstriche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
naja, wenn Du eine Zahl $x$ mit einer Folge [mm] $y_n$ [/mm] mit [mm] $y_n \to [/mm] x$ annähern willst, so begehst Du ja den Fehler [mm] $|x-y_n|$.
[/mm]
Hier ist die Folge der [mm] $y_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k k!}$ [/mm] eine Folge von Zahlen, die monoton wachsend gegen [mm] $x=e^{\frac{1}{3}}$ [/mm] strebt, daher ist [mm] $y_n \le [/mm] x$ bzw. [mm] $x-y_n \ge [/mm] 0$ und damit [mm] $|x-y_n|=x-y_n$.
[/mm]
Ich meine, wenn Du z.B. versuchen wolltest, mit der Folge
[mm] $a_n=\begin{cases} -\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ n & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Dich bis auf einen Fehler von [mm] $\le \frac{1}{100}$ [/mm] an die $0$ zu nähern, so bekämst Du heraus, dass das nicht geht. Dennoch wäre für $n [mm] \ge [/mm] 100$ dann [mm] $0-a_n=-a_n \le \frac{1}{100}$, [/mm] weil für gerade $n$ dann [mm] $-a_n=\frac{1}{n} \le \frac{1}{100}$ [/mm] und für alle ungeraden $n$ dann [mm] $-a_n=-n [/mm] < 0 [mm] \le \frac{1}{100}$.
[/mm]
Es wäre aber halt nicht(!!!)
[mm] $|0-a_n| \le \frac{1}{100}$.
[/mm]
Deswegen die Betragszeichen, wobei man die natürlich auch mit der obigen Überlegung, dass die Folge $( [mm] y_n )_n$ [/mm] monoton wachsend gegen [mm] $e^{\frac{1}{3}}$ [/mm] ist, weglassen kann (das sollte man aber meines Erachtens dazuschreiben).
Gruß,
Marcel
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man muss nun also
[mm] \sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{3^k k!} [/mm] < [mm] \frac{2}{3^(k+1) (k+1)!}
[/mm]
betrachten, (dass ist ja auch der Tipp, der gegeben wurde...)
aber irgendwie bin ich noch noch verwirrt, wie ich da vorgehen muss...
setze
N=1 bzw n=2: dann bekomme ich für die Ungleichung 0,00 <0,01
N=2 bzw n=3 0,00 <0,01
N=3 bzw n=4 0,00 <0,01
N=4 0,00 <0,01
N=5 0,00 <0,01
[mm] e^{1/3}=1,2956...\approx [/mm] 1,40 (mal soll ja auf hunderstel runden..)
irgendwie sehe ich da keinen zusammenhang?!?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> man muss nun also
> [mm]\sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{3^k k!}[/mm] < [mm]\frac{2}{3^(k+1) (k+1)!}[/mm]
bitte aufpassen, wo welche Variablen zu stehen haben (das $k$ rechterhand macht keinen Sinn). Mit dem Tipp folgt (ich nehme jetzt mal $M$ anstatt $N$, weil ich eigentlich mit $N$ eine Zahl bezeichnen will, die
[mm] $\sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{3^k k!} \le \frac{1}{100}$ [/mm] erfüllt):
Es ist
[mm]\sum_{k=M+1}^\infty \frac{1}{3^k k!} < \frac{2}{3^{M+1} (M+1)!}[/mm]
Die Folge [mm] $\left( \frac{2}{3^{M+1} (M+1)!} \right)_{M \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend gegen $0$. (Warum?)
Also gibt es ein [mm] $N_0 \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $\frac{2}{3^{n+1} (n+1)!} \le \frac{1}{100}$ [/mm] sogar für alle $n [mm] \ge N_0$. [/mm] Wenn Du willst, kannst Du dann als $N$ das kleinste dieser [mm] $N_0$ [/mm] wählen, Du kannst aber auch zeigen, dass z.B. $N=100$ geeignet wäre.
Bedenke nur, dass Du am Ende noch:
[mm] $\sum_{k=0}^N \frac{1}{3^k k!}$
[/mm]
anzugeben hast, und je weniger Summanden, desto einfacher ist die Rechnung dafür (je mehr Summanden, desto fehleranfälliger auch).
Daher sollte man halt das $N$ so klein wie möglich halten (zumindest, wenn man wie ich, ein fauler Rechner ist, also ungern rechnet) 
Wenn Du so willst, der Faulheit halber:
Suche nun das kleinste $N [mm] \in \IN$, [/mm] dass
[mm] $3^{N+1} [/mm] *(N+1)! [mm] \ge [/mm] 200$
erfüllt.
$N=1$ tut's nicht: [mm] $3^2*2!=18 [/mm] < 200$
$N=2$ tut's nicht: [mm] $3^3*3!=27*6=162 [/mm] < 200$
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Das geht nun sehr sehr schnell
Gruß,
Marcel
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hey danke für deine ausführlich erklärungen, hab das gefühl, dass ich irgendwie nix auf die reihe bekomme...
Wenn ich das N gefunden habe ( was offensichtlich 3 ist^^) gebe ich das in die formel ein:
[mm] E(1/3)=\summe_{k=1}^{3}\bruch{1}{3^{k}k!}+\summe_{k=4}^{oo}\bruch{1}{3^{k}k!}=0,395+???
[/mm]
wie kann ich denn eine Summe ausrechnen, die von einem festem wert bis ins unendliche reicht?!? E(1/3) =1,396 sagt der Taschenrechner, dann müsste der zweite Summand 1 sein, aber ich weiß nicht so recht wie ich das beweisen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> hey danke für deine ausführlich erklärungen, hab das
> gefühl, dass ich irgendwie nix auf die reihe bekomme...
>
> Wenn ich das N gefunden habe ( was offensichtlich 3 ist^^)
> gebe ich das in die formel ein:
>
> [mm]E(1/3)=\summe_{k=1}^{3}\bruch{1}{3^{k}k!}+\summe_{k=4}^{oo}\bruch{1}{3^{k}k!}=0,395+???[/mm]
>
> wie kann ich denn eine Summe ausrechnen, die von einem
> festem wert bis ins unendliche reicht?!? E(1/3) =1,396 sagt
> der Taschenrechner, dann müsste der zweite Summand 1 sein,
> aber ich weiß nicht so recht wie ich das beweisen kann
Hallo,
der Sinn der Aufgabe besteht hier darin, dass Du [mm] $e^{\frac{1}{3}}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k k!}$ [/mm] approximierst durch [mm] $\sum_{k=0}^{N_0} \frac{1}{3^k k!}$, [/mm] wobei [mm] $N_0 \in \IN$ [/mm] so gewählt werden soll, dass der "Fehler", der hier einfach [mm] $=\sum_{k=N_0 +1}^{\infty} \frac{1}{3^k k!}$ [/mm] ist, ja [mm] $\le \frac{1}{100}$ [/mm] sein soll.
Mit den Abschätzungen sieht man, dass man [mm] $N_0=3$ [/mm] wählen kann (Du könntest natürlich auch ein größeres [mm] $N_0$ [/mm] wählen, aber mit den Abschätzungen erkennst Du, dass [mm] $N_0=3$ [/mm] das kleinste (hier eigentlich bzgl. der durch den Tipp gegebenen Abschätzungen) ist, für das der Fehler [mm] $\le \frac{1}{100}$).
[/mm]
Das heißt, Du sollst nicht [mm] $e^{\frac{1}{3}}$ [/mm] "komplett" in Dezimaldarstellung angeben (da bräuchtest Du auch [mm] $\infty$ [/mm] viel Zeit ), sondern einfach nur berechnen (und in Dezimaldarstellung anzugeben), was
[mm] $\sum_{k=0}^{N_0} \frac{1}{3^k k!}$
[/mm]
für einen Wert in Dezimaldarstellung hat. Wählst Du das (bzgl. der gegebenen Abschätzungen) kleinste [mm] $N_0$, [/mm] also [mm] $N_0=3$, [/mm] was ja auch sinnvoll ist, da man dann nur $4$ Summanden hat, so hast Du nur noch:
[mm] $\sum_{k=0}^3 \frac{1}{3^k k!}=\frac{1}{3^0 0!}+\frac{1}{3^1 1!}+\frac{1}{3^2 2!}+\frac{1}{3^3 3!}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{18}+\frac{1}{162}$
[/mm]
zu berechnen, denn wegen der Abschätzungen unterscheidet sich der Wert von [mm] $\sum_{k=0}^{N_0} \frac{1}{3^k k!}$ [/mm] für jedes [mm] $N_0 \ge [/mm] 3$ ja nur um einen Wert im Betrage [mm] $\le \frac{1}{100}$ [/mm] von dem tatsächlichen Wert [mm] $e^{\frac{1}{3}}$.
[/mm]
P.S.:
Bitte pass' auf, dass der Startindex der Summe $k=0$ und nicht $k=1$ ist, dann "verlierst" Du auch nicht den Wert [mm] $\frac{1}{3^0 0!}=1$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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oh man, warum bin ich nicht selbst drauf gekommen!!!! vielen dank!!!!
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