e^{-1/x} beliebig oft diffbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Majin |
| Aufgabe | Die Funktion h : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei wie folgt definiert:
h(x) [mm] :=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x\le \\ e^{-1/x} , & \mbox{falls } x>0 \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass h auf ganz [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar ist.
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Ich habe ein paar mal abgeleitet, aber ich konnte leider kein muster oder irgendetwas in der Art entdecken was mich weitergebracht hätte. Das sie für x kleiner gleich null beliebig oft differenzierbar ist leuchtet ja ein aber wie ich es für [mm] e^{-1/x} [/mm] zeigen soll, weiß ich nicht. Wir haben auch grade erst mit Differentiation angefangen, sodass wir kaum Möglichkeiten(Schemas) haben an die Aufgabe heran zugehen.
Über jegliche Hilfestellung wäre ich sehr dankbar.
Mfg Majin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Funktion h : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei wie folgt definiert:
> h(x) [mm]:=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x\le \\ e^{-1/x} , & \mbox{falls } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeige, dass h auf ganz [mm]\IR[/mm] beliebig oft differenzierbar
> ist.
>
> Ich habe ein paar mal abgeleitet, aber ich konnte leider
> kein muster oder irgendetwas in der Art entdecken was mich
> weitergebracht hätte. Das sie für x kleiner gleich null
> beliebig oft differenzierbar ist leuchtet ja ein aber wie
> ich es für [mm]e^{-1/x}[/mm] zeigen soll, weiß ich nicht. Wir haben
> auch grade erst mit Differentiation angefangen, sodass wir
> kaum Möglichkeiten(Schemas) haben an die Aufgabe heran
> zugehen.
Zeige folgendes:
Fuer jedes $n$ gibt es ein Polynom [mm] $P_n$, [/mm] so dass [mm] $h^{(n)}(x) [/mm] = [mm] P_n(1/x) e^{-1/x}$ [/mm] ist fuer $x > 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 30.04.2009 | | Autor: | Majin |
Gut ich habe mir mal etwas überlegt weil ich nicht weiß wie ich das mit dem Polynom machen soll sorry.
Ich habe versucht die Ableitungen als Summe darzustellen und das einzige was mir dabei Probleme bereitet, sind die Koeffizienten der [mm] 1/x^n. [/mm] Diese sind ja aber theoretisch nicht wichtig für die Ableitung. Naja die Formel ist :
[mm] 1/x^{n}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i})
[/mm]
Und für dieses per Induktion zu zeigen das sie beliebig oft differenzierbar ist ist sehr einfach für [mm] r_{i} \in \IN [/mm] bzw sogar [mm] \IR. [/mm] Ist das zu schwamig bzw bin ich voll daneben?
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 30.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Gut ich habe mir mal etwas überlegt weil ich nicht weiß wie
> ich das mit dem Polynom machen soll sorry.
>
> Ich habe versucht die Ableitungen als Summe darzustellen
> und das einzige was mir dabei Probleme bereitet, sind die
> Koeffizienten der [mm]1/x^n.[/mm] Diese sind ja aber theoretisch
> nicht wichtig für die Ableitung. Naja die Formel ist :
>
> [mm]1/x^{n}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i})[/mm]
>
> Und für dieses per Induktion zu zeigen das sie beliebig oft
> differenzierbar ist ist sehr einfach für [mm]r_{i} \in \IN[/mm] bzw
> sogar [mm]\IR.[/mm] Ist das zu schwamig bzw bin ich voll daneben?
>
> Mfg
>
Hallo
Das ist genau der Weg. Und der ist gar nicht so schwer.
Induktionsanfang:
[mm] f^{(1)}(x)=f'(x)
[/mm]
Ind-Schritt:
[mm] f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'=\left(.....\right)'
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 30.04.2009 | | Autor: | Majin |
IA: ...
IV: Gelte A(n) für ein n [mm] \in [/mm] N.
IS: Folgt daraus A(n+1):
[mm] 1/x^{n+1}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i})
[/mm]
= [mm] 1/x^{n+1}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i}) [/mm] + [mm] 1/x^{n+1}*e^{-1/x}*((-1)^{n}/x^{n+1}*r_{i}) [/mm]
[mm] (1/x^{n}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i})) [/mm] ist nach IV ableitbar und damit auch [mm] (1/x^{n}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i}))/x [/mm] ableitbar
und der zweite teil [mm] 1/x^{n+1}*e^{-1/x}*((-1)^{n}/x^{n+1}*r_{i}) [/mm]
lässt sich ja auch wieder ableiten. q.e.d
Die Frage ist jetzt nur ob ich das darf da ich ja die Konstanten der Monome durch [mm] r_{i} [/mm] ersetzt habe weil ich keine Regelmäßigkeit drin gefunden habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 30.04.2009 | | Autor: | abakus |
> IA: ...
> IV: Gelte A(n) für ein n [mm]\in[/mm] N.
> IS: Folgt daraus A(n+1):
>
> [mm]1/x^{n+1}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i})[/mm]
>
> = [mm]1/x^{n+1}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i})[/mm]
> + [mm]1/x^{n+1}*e^{-1/x}*((-1)^{n}/x^{n+1}*r_{i})[/mm]
>
> [mm](1/x^{n}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i}))[/mm]
> ist nach IV ableitbar und damit auch
> [mm](1/x^{n}*e^{-1/x}*(\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-1)^{i-1}} {x^{i}}*r_{i}))/x[/mm]
> ableitbar
> und der zweite teil
> [mm]1/x^{n+1}*e^{-1/x}*((-1)^{n}/x^{n+1}*r_{i})[/mm]
> lässt sich ja auch wieder ableiten. q.e.d
>
> Die Frage ist jetzt nur ob ich das darf da ich ja die
> Konstanten der Monome durch [mm]r_{i}[/mm] ersetzt habe weil ich
> keine Regelmäßigkeit drin gefunden habe.
Hallo,
das soll mal jemand anderes beantworten, ich möchte nur auf einen bisher nicht erwähnten Fakt ausmerksam machen:
Differenzierbarkeit auf ganz [mm] \IR [/mm] bedeutet inbesondere auch Differenzierbarkeit an der Stelle x=0 (Problematik der Übereinstimmung von links- undr rechtsseitigem Grenzwert).
Es muss also auch erwähnt werden, dass die Ableitungen an der Stelle x=0 sämtlich 0 sind (so wie die Ableitungen für x<0).
Gruß Abakus
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