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e funktion,logarithmus!: HILFE!Zusammenhang e logar.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 09.01.2005
Autor: Desperado

hallo ,

kann mir jemand links und hilfe zu dem zusammenhang der e funktion und logarithmus


Man soll ja eine neue frage stellen und nicht alle fragen in eines posten.

Gruß

Thomas

        
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e funktion,logarithmus!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 So 09.01.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Thomas,


> Kann mir jemand Links und Hilfe zum Zusammenhang der e funktion und logarithmus geben?


Hast du den schon mal eine []Suchmaschine benutzt, um deinem Problem beizukommen? Kurz gesagt: Der Logarithmus ist eine Umkehrfunktion zur Funktion $f(x) := [mm] a^x$. [/mm] Und ist damit definiert als:


[m]\log _a \left( k \right) := x;\,k \in f(x)[/m].


Man spricht auch vom "Logarithmus zur Basis a". Mit $k [mm] \in [/mm] f(x)$ will ich nur sagen, daß der Logarithmus nur solche Exponenten als Ergebnis liefern kann, für die [mm] $f(x)\!$ [/mm] überhaupt definiert ist. Beispielsweise gibt es keinen Exponenten [mm] $x\!$ [/mm] mit [mm] $a^x [/mm] = 0$. Also ist [m]\log _a 0: = {\texttt{undef}}[/m]. Für [mm] $a:=e\!$ [/mm] erhälst du den natürlichen Logarithmus.



Viele Grüße
Karl



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e funktion,logarithmus!: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 So 09.01.2005
Autor: Desperado

also ich brauche die zusammenhänge weil ich Funktionen ABleiten muss und gleichenungen nach x auflösen muss
das macht mir sehr schwierigkeiten,da ich nie weiß wie ich [mm] e^x [/mm] oder ln wegbekomme...

Hoffentlich krieg ich das heute noch hin,muss die KLausur nachschreiben...

Thomas

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e funktion,logarithmus!: Etwas konkreter, bitte ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 So 09.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Thomas!

Die Zusammenhänge zwischen e-Funktion und ln-Funktion hat Karl_Pech ja oben bereits kurz angerissen ...

Nenne uns doch einfach einige konkrete Aufgaben und wie weit Du damit kommst (Lösungsansätze).

Für's Ableiten sollte man halt wissen:

$y = [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm]     $y' = [mm] e^x$ [/mm]

[mm] $\text{y = ln(x)}$ $\Rightarrow$ [/mm]     $y' = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]


Grüße Loddar


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e funktion,logarithmus!: Gleichungen aufgelistet
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 So 09.01.2005
Autor: Desperado

SOrry das ich die gleichungen so hinschreiben,der formeleditor ist mir zu umständlich... ...

ln (x+1) = 2

[mm] x+1=e^2 [/mm]

weiß nicht wie ich auf dieses ergebnis komme?
könntest du mir die schritte erklären..
das meine ich mit umformen,wieso da jetzt [mm] e^2 [/mm] rauskommt,versteh ich nicht..
mit den ableitungen 1 durch x und [mm] e^x [/mm] bleibt [mm] e^x [/mm] hab ich verstanden!!!

[mm] e^2 [/mm] = 2  

x= ln 2

ln (3x-5) = 0

Weiß ich kein ergebnis....

Man soll die nach nur ableiten

Gruß thomas

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e funktion,logarithmus!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 So 09.01.2005
Autor: Loddar

Hi Thomas!

Na, dann werden wir mal:

ln (x+1) = 2
Hier "stört" uns nun natürlich der Logarithmus, wenn wir nach x auflösen wollen.
Daher wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung genau die Umkehrfunktion zur ln-Funktion an: die e-Funktion.

Wir erhalten:
[mm] $e^{ln(x+1)} [/mm] = [mm] e^2$ [/mm]

Da e-Funktion und ln- Funktion einander Umkehrfunktionen sind, "heben" sich sich gegenseitig auf: [mm] $e^{ln(x+1)} [/mm] = (x+1)$.

Für unsere Gleichung heißt das:
$(x+1) = [mm] e^2$ [/mm] Nun nur noch auf beiden Seiten "-1" und fertig:

$x = [mm] e^2 [/mm] - 1 [mm] \approx [/mm] 6,389$


> [mm]e^2[/mm] = 2  

[verwirrt] Damit kann ich nix anfangen.
Denn der Ausdruck [mm] $e^2$ [/mm] ist ein feststehender Ausdruck, sprich: eine konstante Zahl (die übrigens ungleich 2, da [mm] $e^2 \approx [/mm] 7,39 [mm] \not= [/mm] 2$.


> x= ln 2

Auch hier ist die "Aufgabe" bereits fertig, denn den Wert ln(2) kann man einfach über Taschenrechner ausrechnen: $x = ln(2) [mm] \approx [/mm] 0,693$


> ln (3x-5) = 0

Hier ist die Vorgehensweise wie ganz oben.
Probier das mal aus und poste Dein Ergebnis ...


> Man soll die nach nur ableiten

[kopfkratz2] Das versteh' ich auch nicht [verwirrt]


Loddar


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Bezug
e funktion,logarithmus!: ERgebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 So 09.01.2005
Autor: Desperado

hallo thorsten,ich glaube ich hab auch das kapiert,muss sich nur noch festankern ;)

also:

ln (3x-5)=0                   e funktion anweden.....

[mm] e^ln(3x-5)=e^2 [/mm]            löst sich gegeneinander auf

3x-5 = [mm] e^2 [/mm]

[mm] 3x=e^2 [/mm] - 5

[mm] x=e^2 [/mm] -5 durch 3

in der letzen Zeile bin ich mir nicht ganz sicher ob das so stimmt...

Stimmt es?

Gruß thomas

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Bezug
e funktion,logarithmus!: Noch nicht richtig ;-(
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 So 09.01.2005
Autor: Loddar

Hallöle ...
  

> ln (3x-5)=0                   e funktion anweden..... [ok]
>  
> [mm]e^{ln(3x-5)} = e^2[/mm]   [notok]

Wo hast Du denn die "2" her?
Auf der rechten Seite stand doch 'ne 0.
[aufgemerkt] Also muß hier auf der rechten Seite auch [mm] $e^0$ [/mm] stehen !!.


> 3x-5 = [mm]e^2[/mm]
> [mm]3x=e^2[/mm] - 5 [notok]

Wenn Du die "5" auf die rechte Seite bringen möchtest, mußt Du "+5" auf beiden Seiten rechnen.
  

> [mm]x=e^2[/mm] -5 durch 3

Bei so etwas bitte auch immer Klammern setzen ...

Das Ergebnis lautet (bitte nachrechnen): $x = - [mm] \bruch{4}{3}$ [/mm]
Es gilt ja auch schließlich [mm] $e^0= [/mm] 1$.


Loddar


Bezug
        
Bezug
e funktion,logarithmus!: geometrische Bedeutung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 Mo 10.01.2005
Autor: dominik

Hier noch eine Ergänzug. So viel ich gelesen habe, ist der geometrische Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion [mm] f(x)=e^{x} [/mm] und der Logarithmusfunktion [mm] g(x)=ln(x)=log_{e}(x) [/mm] noch nicht erwähnt worden.

Eine Exponentialfunktion und eine Logarithmusfunktion mit der gleichen Basis (zB wie oben e  [mm] \approx [/mm] 2.7) sind von einander Umkehrfunktionen und verlaufen zu einander symmetrisch in Bezug auf die erste Winkelhalbierende y=x.

Man erhält die Gleichung der Umkehrfunktion, indem man x und y vertauscht und die Gleichung anschliessend nach y auflöst. Das Vertauschen von x und y entspricht dem Vertauschen der Koordinaten aller Punkte, die auf der Kurve liegen; geometrisch ergibt dies eine Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.

Beispiel:
[mm] y=10^{x} [/mm]     /  x und y vertauschen
[mm] x=10^{y} [/mm]     /  nach y auflösen, also logarithmieren mit der Basis 10
[mm] log_{10}(x)=log_{10}(10^{y})=y [/mm]
[mm] y=log_{10}(x)=lg(x) [/mm] ist die Umkehrfunktion zu [mm] y=10^{x} [/mm]

Gruss
dominik

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