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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 29.12.2005 | | Autor: | Trivalik |
| Aufgabe | Gegeben sind Gerade g und die Ebene [mm] E_{1}:
[/mm]
g: [mm] x=(4,4,1)^{T} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (3,2,0)^{T}, \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] E_{1}: [/mm] 2x + 3y -5z = 3
a)Untersuche die Lagebeziehung von g und [mm] E_{1}.
[/mm]
b)Gib eine Ebene [mm] E_{2} [/mm] an, die auf [mm] E_{1} [/mm] senkrecht steht und mit g keinen gemeinsamen Punkt hat.
c) Gib eine Ebene [mm] E_{3} [/mm] an, die parallel zu [mm] E_{1} [/mm] liegt und von [mm] E_{1} [/mm] den Abstand 1 hat. |
zu a) Was soll ich darunter verstehen Lagebeziehung?
Ich denke mir das es so gemeint ist das ich sagen bzw zeigen soll ob die gerade über der ebene bzw schneidet oder drunter liegt. Also den verlauf.
zu b) [mm] E_{2} [/mm] senkrecht auf [mm] E_{1} [/mm] ist das skalarprodukt von [mm] E_{2} [/mm] und [mm] E_{1} [/mm] = 0, doch wie rechne ich dieses aus, es gibt ja 4 unbekannte? oder sind es nur 3, da man die gerade x in die Ebene einsetzen kann?
Außerdem wie zeige ich das die ebene kein gemeinsamen Punkt mit g hat?
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Hallo,
genau da soll überprüft werden, ob die Gerade die Ebene schneidet (und den Punkt berechnen), parallel zu ihr verläuft oder [mm] g\in [/mm] E.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Trivalik |
[mm] \vektor{2\\3\\-5} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 3
[mm] \vektor{2\\3\\-5} [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{3\\2\\0} [/mm] = 3 ?
2 * [mm] \lambda [/mm] * 3 = 3
3 * [mm] \lambda [/mm] * 2 = 3
-5 * [mm] \lambda [/mm] * 0 = 3 (Kann man hierran schon erkennen das es keine Lösung gibt?)
2 * [mm] \lambda [/mm] - 1 = 0
2 * [mm] \lambda [/mm] - 1 = 0
-3 = 0 (Oder ist das hierran schon zu erkennen?)
[mm] \vektor{2\\3\\-5} [/mm] * 1/2 * [mm] \vektor{3\\2\\0} [/mm] = 3 ?
3 + 3 + 0 [mm] \not= [/mm] 3
Also gibt es keine Lösung also schneidet g nicht E1. Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trivalik!
> [mm]\vektor{2\\3\\-5}[/mm] * [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{3\\2\\0}[/mm] = 3 ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst hier schon den gesamten Term der Geradengleichung (rechte Seite) einsetzen:
[mm]\vektor{2\\3\\-5}*\left[\red{\vektor{4\\4\\1}} + \lambda*\vektor{3\\2\\0}\right] \ = \ 3[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trivalik!
Zunächst können wir einen Normalenvektor von [mm] $E_1$ [/mm] fast direkt ablesen:
[mm] $E_1 [/mm] \ : \ 2x+3y-5z \ = \ 3$ [mm] $\gdw$ $E_1 [/mm] \ : \ [mm] \vektor{2\\3\\-5}*\vec{x} [/mm] \ = \ 3$
Eine weitere Ebene [mm] $E_2$ [/mm] , die senkrecht auf [mm] $E_1$ [/mm] stehen soll, muss also einen Normalenvektor [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] haben, der senkrecht auf den Normalenvektor von [mm] $E_1$ [/mm] steht:
[mm] $\vec{n}_1 [/mm] \ [mm] \perp [/mm] \ [mm] \vec{n}_2$ $\gdw$ $\vec{n}_1*\vec{n}_2 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\3\\-5}*\vektor{x\\y\\z} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
Da diese neue Ebene [mm] $E_2$ [/mm] keinen Schnittpunkt mit $g_$ haben soll (also parallel sein soll), müssen der Geradenrichtungsvektor und der Normalenvektor von [mm] $E_2$ [/mm] ebenfalls senkrecht aufeinander stehen:
[mm] $\vektor{3\\2\\0}*\vektor{x\\y\\z} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen kannst Du nun einen Normalenvektor [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] der Ebene [mm] $E_2$ [/mm] bestimmen.
Um sicherzugehen, dass die Gerade $g_$ nicht in der Ebene [mm] $E_2$ [/mm] liegt, darf der Aufpunkt der Geraden nicht in dieser Ebene liegen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Trivalik |
Die beiden skalarprodukte kann man doch gleichsetzen und dann x y z ausrechen. Da kommt bei mir der 0 vektor herraus.
[mm] \vektor{3\\2\\0} [/mm] * [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\-5} [/mm] * [mm] \vektor{x\\y\\z}
[/mm]
5x=0
2y=0
5z=0
Richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das ist falsch. Löse die beiden Gleichungen, die Loddar angegeben hat, und du kommst (für den Normalenvektor) auf alle Vielfachen von
[mm] $\pmat{2 \\ -3 \\ -1}$
[/mm]
(dieser steht sowohl auf [mm] $\pmat{2 \\ 3 \\ -5}$ [/mm] als auch auf [mm] $\pmat{3 \\ 2 \\ 0}$ [/mm] senkrecht; man kann ihn auch mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen).
Wie kann man jetzt die Ebene wählen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 29.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Bestimme zunächst die Hesse'sche Normalform von [mm] $E_1$. [/mm] Damit hast Du dann automatisch den Abstand von [mm] $E_1$ [/mm] zum Ursprung.
Diesen Abstand nun um $1_$ erhöhen (oder verringern), und Du hast die gesuchte Ebene [mm] $E_3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Trivalik |
Es reicht wohl nicht von E1 den vektor [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] abzuziehen bzw. zu addieren? Da ich die Hessesche normalform net ganz verstanden hab. muss ich mal noch nachschlagen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trivalik!
> Es reicht wohl nicht von E1 den vektor [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] abzuziehen bzw. zu addieren?
Nein, das klappt aus mehreren Gründen nicht:
1. hat dieser o.g. Vektor die Länge [mm] $\wurzel{3} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ !
2. müsste der Vektor auch parallel zum Normalenvektor der Ebene sein.
3. und das wichtigste: verändert sich bei der gesuchten Ebenengleichung hinten der letzte Ausdruck: ein Skalar (und kein Vektor!).
Gruß
Loddar
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