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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 14.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Es sei (G,*) eine Gruppe mit dem Zentrum Z und g [mm] \in [/mm] G, g [mm] \not\in [/mm] Z. Dann gilt für den Normalisator [mm] M_g [/mm] von g: Z [mm] \subset M_g \subset [/mm] G. |
Hallo!
Ich muss also zunächst zeigen dass:
i) [mm] M_g \subset [/mm] G
ii) G nicht [mm] \subset M_g
[/mm]
i) haben wir schon in der Vorlesung bewiesen
ii) Fall 1: G [mm] \subset M_g: [/mm] Falls ein x [mm] \in M_g [/mm] ex. und x [mm] \not\in [/mm] G dann: Wiederspruch zu [mm] M_g:=\{ x \in G | m*x*m^{-1}=x \}
[/mm]
Falls 2: [mm] G=M_g: [/mm] hier weiß ich nicht wie ich das zeigen soll, da mir kein Weg einfällt, bei dem ich ein Element erhalte, das in G ist, aber nicht in [mm] M_g
[/mm]
Hoffe mir kann jemand helfen!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 14.11.2010 | | Autor: | andreas |
hallo,
was heißt es denn, dass $g$ nicht im zentrum liegt?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 So 14.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
Ich weiß es ehrlich gesagt nicht. Aber ist das für den ersten Schritt wichtig? Ich wollte zunächst zeigen dass [mm] M_g [/mm] echte Teilmenge von G ist und danach dass Z echte Teilmenge von [mm] M_g [/mm] ist.
Spielt das Zentrum denn eine Rolle beim ersten Schritt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 So 14.11.2010 | | Autor: | andreas |
ja, das ist dafür wichtig. wenn dir nicht klar ist, was das heißt, dann schlage es nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 So 14.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
Naja ich weiß was das Zentrum ist, aber ich finde keinen Zusammenhang zu meinem Beweis.
[mm] Z_G=\{ g \in G | gmg^{-1}=m \forall m \in G\}
[/mm]
Wenn g [mm] \not\in Z_G [/mm] dann können also nicht alle m [mm] \in [/mm] G durch [mm] gmg^{-1}=m [/mm] dargestellt werden. Es gibt also ein m [mm] \in [/mm] G, welche nicht durch [mm] Z_g [/mm] dargestellt werden kann. Der Normalisator [mm] M_g=\{ m \in G | mgm^{-1} =g \}enthält [/mm] alle zu g konjugierten Elemente m. Da m nicht durch das Zentrum dargestellt werden kann ist [mm] Z_g [/mm] echte Teilmenge von [mm] M_g, [/mm] da m [mm] \in M_g [/mm] und m [mm] \not\in Z_g. [/mm] (?)
Mir fällt es schwer zu sehen wie ich die gegebenen Definition für meinen Beweis anwende. Ein Ansatz würde mir weiterhelfen.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mo 15.11.2010 | | Autor: | m0ppel |
Hi, im Forum wurde diese Frage schon einmal bearbeitet, siehe hier: https://matheraum.de/read?t=107987&v=t
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