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Forum "Uni-Lineare Algebra" - eigenschaften von eingeschränk
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eigenschaften von eingeschränk: ten Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Do 17.05.2007
Autor: CPH

Aufgabe
Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, sei f : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus,
und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
1. Zeigen Sie :
(f ist diagonalisierbar.) => [mm] (f|_{W} [/mm] : W [mm] \to [/mm] W ist diagonalisierbar.)
2. Zeigen Sie :
(f ist trigonalisierbar.)=> [mm] (f|_W [/mm] : W [mm] \to [/mm] W ist trigonalisierbar.)

Hallo, ich würd sagen, das das logisch klingt, aber wie soll man das zeigen.

Ich denke, wenn ich eine Funktion einschränke müssten die eigenschaften sich doch vererben.

Vielen Dank für eure Hilfe

MfG

CPH

        
Bezug
eigenschaften von eingeschränk: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Do 17.05.2007
Autor: angela.h.b.


> Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
>  und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
>  1. Zeigen Sie :
>  (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> diagonalisierbar.)

Hallo,

mal grob eine Idee dazu:

V ist diagonalisierbar, hat also eine Basis aus Eigenvektoren [mm] (e_1,...e_n) [/mm]

[mm] W= [/mm] ist invarianter Unterraum.

Basisaustauschsatz: es ist [mm] (w_1,...,w_m,e_{m+1},...,e_n) [/mm] Basis von V.

Also [mm] V=W\oplus [/mm]

Was wäre, wenn es in W nicht m linear unabhängige Eigenvektoren von f gäbe?

Gruß v. Angela






>  2. Zeigen Sie :
>  (f ist trigonalisierbar.)=> [mm](f|_W[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> trigonalisierbar.)
>  Hallo, ich würd sagen, das das logisch klingt, aber wie
> soll man das zeigen.
>  
> Ich denke, wenn ich eine Funktion einschränke müssten die
> eigenschaften sich doch vererben.
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe
>  
> MfG
>  
> CPH


Bezug
                
Bezug
eigenschaften von eingeschränk: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Do 17.05.2007
Autor: CPH

Hallo, erst mal vielen Dank für deine Idee, ich hab da noch ein paar fragen:


> > Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> > K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
>  >  und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
>  >  1. Zeigen Sie :
>  >  (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> > diagonalisierbar.)
>  
> Hallo,
>  
> mal grob eine Idee dazu:
>  
> V ist diagonalisierbar, hat also eine Basis aus
> Eigenvektoren [mm](e_1,...e_n)[/mm]
>  
> [mm]W=[/mm] ist invarianter Unterraum.
>  
> Basisaustauschsatz: es ist [mm](w_1,...,w_m,e_{m+1},...,e_n)[/mm]
> Basis von V.
>  
> Also [mm]V=W\oplus [/mm]
>  
> Was wäre, wenn es in W nicht m linear unabhängige
> Eigenvektoren von f gäbe?
>  
> Gruß v. Angela
>  
>


Das heißt also, ich habe eine Basis für w aus eigenvektoren, daher ist [mm] f|_w [/mm] diagonalisierbar?



>
>
>
>
> >  2. Zeigen Sie :

>  >  (f ist trigonalisierbar.)=> [mm](f|_W[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> > trigonalisierbar.)
>  >  Hallo, ich würd sagen, das das logisch klingt, aber wie
> > soll man das zeigen.

Ich habe jedoch hier keine Basis aus Eigenvektoren, wie kann ich es hier machen?

Was bedeutet eigndlich W ist f-invariant für die basis von W ??
wie hängt dies alles zusammen?


Bezug
                        
Bezug
eigenschaften von eingeschränk: zu a.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Do 17.05.2007
Autor: angela.h.b.


> > > Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> > > K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
>  >  >  und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
>  >  >  1. Zeigen Sie :
>  >  >  (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> > > diagonalisierbar.)
>  >  
> > Hallo,
>  >  
> > mal grob eine Idee dazu:
>  >  
> > V ist diagonalisierbar, hat also eine Basis aus
> > Eigenvektoren [mm](e_1,...e_n)[/mm]
>  >  
> > [mm]W=[/mm] ist invarianter Unterraum.
>  >  
> > Basisaustauschsatz: es ist [mm](w_1,...,w_m,e_{m+1},...,e_n)[/mm]
> > Basis von V.
>  >  
> > Also [mm]V=W\oplus [/mm]
>  >  
> > Was wäre, wenn es in W nicht m linear unabhängige
> > Eigenvektoren von f gäbe?
>  >  
> > Gruß v. Angela
>  >  
> >
>
>
> Das heißt also, ich habe eine Basis für w aus
> eigenvektoren, daher ist [mm]f|_w[/mm] diagonalisierbar?

Ja.

Wobei die "was wäre, wenn"-Frage vorher zu beantworten ist.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
eigenschaften von eingeschränk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Do 17.05.2007
Autor: felixf

Hallo!

> Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
>  und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
>  1. Zeigen Sie :
>  (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> diagonalisierbar.)
>  2. Zeigen Sie :
>  (f ist trigonalisierbar.)=> [mm](f|_W[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist

> trigonalisierbar.)

Ein anderer Zugang zu dieser Aufgabe:

$f$ ist genau dann trigonalisierbar, wenn sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfaellt.
Und $f$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfaellt.

Wenn du das weisst, kannst du wie folgt vorgehen:

(a) Zeige, dass das charakteristische Polynom von [mm] $f|_W$ [/mm] ein Teiler des char. Polynoms von $f$ ist.
(b) Zeige, dass das Minimalpolynom von [mm] $f|_W$ [/mm] ein Teiler des Minimalpolynoms von $f$ ist.

Damit bekommst du dann sehr schnell die geforderten Implikationen.

Zu (a): Wie man das zeigt: Waehle eine Basis [mm] $(w_1, \dots, w_k)$ [/mm] von $W$ und setze sie zu einer Basis $B = [mm] (w_1, \dots, w_k, v_{k+1}, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ fort. Wie sieht die Matrixdarstellung von $f$ bzgl. $B$ aus? Wie kannst du mit dieser die char. Polynome von $f$ und [mm] $f|_W$ [/mm] beschreiben?

Und zu (b): Ist $m$ das Minimalpolynom von $f$, so gilt $m(f) = 0$ und auch [mm] $m(f|_W) [/mm] = 0$ (warum?). Was folgt daraus fuer das Minimalpolynom von [mm] $f|_W$? [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
eigenschaften von eingeschränk: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Do 17.05.2007
Autor: CPH

Vielen Dank, jetzt hab ich's glaub ich.

MfG

Cph


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