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x(t)=x transponiert
A und B sind zwei Matrizen mit c*x(t)*A*x <= x(t)*B*x <= C*x(t)*A*x.
Haben dannn A und B das gleiche Spektrum? Wenn ja, Warum?
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Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es wäre allerdings sehr schön, wenn du dich für zukünftige Fragen ein wenig mit unserem Formeleditor beschäftigen würdest...
Du hast also zwei Matrizen $A$ und $B$ und zwei Konstanten $c,C$, so dass für alle $x$ gilt:
[mm] $cx^TAx\le x^T Bx\le [/mm] C [mm] x^T [/mm] Ax$.
Daraus möchtest du folgern, dass [mm] $\sigma(A)=\sigma(B)$.
[/mm]
Hierzu gibt es ein einfaches Gegenbeispiel:
Setze [mm] $A=\pmat{1&0\\0&1}$, $B=\pmat{2&0\\0&2}$. [/mm] Dann ist das Spektrum von $A$ gleich [mm] $\{1\}$, [/mm] das Spektrum von $B$ ist gleich [mm] $\{2\}$. [/mm] Für jeden Vektor $x$ gilt aber:
$x^TAx=x^Tx$, $x^TBx=2x^Tx$.
Also ist [mm] $x^TAx\le x^TBx\le [/mm] 2x^TAx$...
Gruß, banachella
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