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eigenwerte sym. matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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eigenwerte sym. matrizen: symmetrische matrizen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Fr 16.07.2010
Autor: blink23

Aufgabe
Für eine symmetrische Matrix $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] gilt:
$A$ besitzt nur reelle Eigenwerte.

Jetzt hab ich eine symmetrische Matrix genommen [mm] $A=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }$, [/mm] doch leider bekomm ich nur komplexe Eigenwerte raus. Kann das sein? Muss man da nicht noch andere Voraussetzungen an die Matrix stellen? Ich habe es nicht mit der Hand gerechnet (MAPLE sollte mir dabei behilflich sein^^).



        
Bezug
eigenwerte sym. matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Fr 16.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo blink23,

> Für eine symmetrische Matrix [mm]A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm]
> gilt:
>  [mm]A[/mm] besitzt nur reelle Eigenwerte. [ok]
>  Jetzt hab ich eine symmetrische Matrix genommen [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm],
> doch leider bekomm ich nur komplexe Eigenwerte raus. Kann
> das sein? Muss man da nicht noch andere Voraussetzungen an
> die Matrix stellen?

Nein

> Ich habe es nicht mit der Hand
> gerechnet (MAPLE sollte mir dabei behilflich sein^^).

Dann wirst du dich beim Eingeben vertippt haben.

Wie lautet denn das charakteristische Polynom?

Das kannst du ja mal per Hand ausrechnen (Sarrus ist dein Freund)...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
eigenwerte sym. matrizen: charakt. polynom
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 Fr 16.07.2010
Autor: blink23

ja, deshalb wollte ich ja maple zu rate ziehen. habe das charakteristische polynom ausgerechnet und das war nicht so schön, also rechner^^!
das polynom ist $2-8 [mm] \lambda+6 \lambda^2- \lambda^3$. [/mm] die lösungen sin dann nicht so klasse.

Bezug
                        
Bezug
eigenwerte sym. matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Fr 16.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

Ja, das cP stimmt, dessen Nullstellen sind alles andere als schön, aber immerhin reell:

MATLAB sagt:

[mm] $\lambda_1=0,3249, \lambda_2=1,4608,\lambda_3=4,2143$ [/mm]

(DERIVE bestätigt das ;-) )

Gruß

schachuzipus

Bezug
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